【BZOJ-2229】最小割 最小割树（最大流+分治）

2229: [Zjoi2011]最小割

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Description

小白在图论课上学到了一个新的概念——最小割，下课后小白在笔记本上写下了如下这段话： “对于一个图，某个对图中结点的划分将图中所有结点分成两个部分，如果结点s,t不在同一个部分中，则称这个划分是关于s,t的割。 对于带权图来说，将所有顶点处在不同部分的边的权值相加所得到的值定义为这个割的容量，而s,t的最小割指的是在关于s,t的割中容量最小的割” 现给定一张无向图，小白有若干个形如“图中有多少对点它们的最小割的容量不超过x呢”的疑问，小蓝虽然很想回答这些问题，但小蓝最近忙着挖木块，于是作为仍然是小蓝的好友，你又有任务了。

Input

输入文件第一行有且只有一个正整数T，表示测试数据的组数。 对于每组测试数据， 第一行包含两个整数n,m，表示图的点数和边数。 下面m行，每行3个正整数u,v,c(1<=u,v<=n,0<=c<=106)，表示有一条权为c的无向边(u,v) 接下来一行，包含一个整数q，表示询问的个数 下面q行，每行一个整数x，其含义同题目描述。

Output

对于每组测试数据，输出应包括q行，第i行表示第i个问题的答案。对于点对(p,q)和(q,p)，只统计一次（见样例）。

两组测试数据之间用空行隔开。

Sample Input

1
5 0
1
0

Sample Output

10

【数据范围】
对于100%的数据 T<=10,n<=150,m<=3000,q<=30，x在32位有符号整数类型范围内。
图中两个点之间可能有多条边

HINT

Source

Day1

Solution

最小割树Gomory-Hu tree，共有n-1个最小割，连起来，形成树，具体的见下

图片及讲解均转自csdn，如有冒犯请谅解

Gomory-Hu tree是一颗代表了所有源目节点对间的最小割的树。求解出Gomory-Hu tree就可以了解两两节点对之间的最大流（最大流最小割定理）。举例：

下图左侧为一无向图，右侧为初始Gomory-Hutree（所有点在统一集合中），下面进行Gomory-Hu tree的求解。

 

步骤一：任意选定一个源节点和一个目的节点。在本例中不失一般性选择节点1为源节点(s)，5为目的节点（t）。则可得最大流为6，且最小割相应的将点分为如下图右侧所示的两个集合。

步骤二：任意选定与之前步骤不同的一个源节点和一个目的节点。在本例中不失一般性选择节点3为源节点(s)，5为目的节点（t）。由于0124四个节点已经被视作一个集合，则可得最大流为8，且最小割相应的将点分为如下图右侧所示的三个集合。

步骤三：任意选定与之前步骤不同的一个源节点和一个目的节点。在本例中不失一般性选择节点1为源节点(s)，2为目的节点（t）。同上可得最大流为6，且最小割相应的将点分为如下图右侧所示的四个集合。

 

重复以上步骤可以将原无向图划分为一棵Gomory-Hutree，如下图所示。

 

         通过此求解过程可知，代码实现整个步骤是十分复杂的。1990年Dan Gusfield通过"Very Simple Methods for All Pairs Network Flow Analysis"一文提出了一种容易实现的Gomory-Hutree的求解方法，也是本文采用的实现方法。下面通过例子来介绍这种实现方法：

         不失一般性，举例原图是拥有6个节点的无向图，节点间的权重皆为1，节点间的最小割如下图所示：

 

步骤一：创建一棵星型树，节点1为中心节点，其他节点为叶子节点，如下图左侧所示。

步骤二：分别选编号为2至6的节点为源节点（s），重复做步骤三和步骤四。

步骤三：在星型树中令与s节点相邻的节点为目的节点（t），计算s与t之间的最大流，并由此得到最小割。将最大流标注在星型树中s节点与t节点间的链路上。

步骤四：对于每一个编号大于s的节点i，如果在原图中s与i是邻居，且i与s在同一割集中，则去除星型图中i与t的连接，增加i与s的连接，如下图中间所示。

 

         最后可得到如上图右侧所示的Gomory-Hutree。

同样的，按照上述做法，就可以递归分治的去求，最后统计答案即可

具体的实现：

对于每层分治，先任选两个点作为源汇做一遍最小割 
然后找出S集和T集，对所有S集的点和T集的点构成的点对用本次得到的最小割更新一遍 
然后将本次分治的点分成S集和T集，对两个集合分治处理即可

值得注意的地方：

1.由于是无向图，连边的时候可以直接二合一，这样方便分治的时候，还原容量

2.分治的时候，L,R控制好，注意初始化，不要遗漏

3.注意需要进行更新的是最初的$S$集和最初的$T$集，不只是本次分治内部的$S'$集和$T'$集 

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define maxn 200
#define maxm 100010
int n,m,q,t,ans[maxn][maxn],id[maxn],tmp[maxn];
struct Edgenode{int next,to,cap;}edge[maxm];
int head[maxn],cnt=1;
void add(int u,int v,int w)
{cnt++; edge[cnt].to=v; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].cap=w;}
void insert(int u,int v,int w) {add(u,v,w); add(v,u,w);}
int dis[maxn],que[maxn<<1],cur[maxn],S,T;
bool bfs()
{
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    que[0]=S; dis[S]=0; int he=0,ta=1;
    while (he<ta)
        {
            int now=que[he++];
            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)
                if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==-1)
                    dis[edge[i].to]=dis[now]+1,que[ta++]=edge[i].to;
        }
    return dis[T]!=-1;
}
int dfs(int loc,int low)
{
    if (loc==T) return low;
    int w,used=0;
    for (int i=cur[loc]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]==dis[loc]+1)
            {
                w=dfs(edge[i].to,min(low-used,edge[i].cap));
                edge[i].cap-=w; edge[i^1].cap+=w;
                used+=w; if (edge[i].cap) cur[loc]=i;
                if (used==low) return low;
            }
    if (!used) dis[loc]=-1;
    return used;
}
#define inf 0x7fffffff
int dinic()
{
    int tmp=0;
    while (bfs())
        {
            for (int i=1; i<=n; i++) cur[i]=head[i];
            tmp+=dfs(S,inf);
        }
    return tmp;
}
void init()
{
    cnt=1;
    memset(ans,127,sizeof(ans));
    memset(head,0,sizeof(head));
}
bool visit[maxn];
void DFS(int x)
{
    visit[x]=1;
    for (int i=head[x]; i; i=edge[i].next)
        if (edge[i].cap && !visit[edge[i].to])
            DFS(edge[i].to);
}
void work(int L,int R)
{
    if (L==R) return;
    for (int i=2; i<=cnt; i+=2) 
        edge[i].cap=edge[i^1].cap=(edge[i].cap+edge[i^1].cap)>>1;
    S=id[L],T=id[R];
    int maxflow=dinic();
    memset(visit,0,sizeof(visit)); DFS(S);
    for (int i=1; i<=n; i++) if (visit[i])
        for (int j=1; j<=n; j++) if (!visit[j])
            ans[i][j]=ans[j][i]=min(ans[i][j],maxflow);
    int l=L,r=R;
    for (int i=L; i<=R; i++)
        if (visit[id[i]])
            tmp[l++]=id[i];
        else tmp[r--]=id[i];
    for (int i=L; i<=R; i++) id[i]=tmp[i];
    work(L,l-1); work(r+1,R);
}        
int main()
{
//    freopen("mincuto.in","r",stdin);
//    freopen("mincuto.out","w",stdout);
    t=read();
    while (t--)
        {
            init();
            n=read(),m=read();
            for (int i=1; i<=n; i++) id[i]=i;
            for (int u,v,w,i=1; i<=m; i++)
                u=read(),v=read(),w=read(),insert(u,v,w);
            work(1,n);
            q=read();
            for (int c,i=1; i<=q; i++)
                {
                    c=read(); int an=0;
                    for (int j=1; j<=n; j++)
                        for (int k=j+1; k<=n; k++)
                            if (ans[j][k]<=c) an++;
                    printf("%d\n",an); 
                }
            puts("");
        }
    return 0;
}