【板子】gcd、exgcd、乘法逆元、快速幂、快速乘、筛素数、快速求逆元、组合数

 

1.gcd

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

 

2.扩展gcd )extend great common divisor

 

ll exgcd(ll l,ll r,ll &x,ll &y)
{
    if(r==0){x=1;y=0;return l;}
    else
    {
        ll d=exgcd(r,l%r,y,x);
        y-=l/r*x;
        return d;
    }
}

 

void ex_gcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y) // 扩展欧几里得  
{  
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0;}  
    else { ex_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b);}  
}  

 

3.求a关于m的乘法逆元

ll mod_inverse(ll a,ll m){
    ll x,y;
    if(exgcd(a,m,x,y)==1)//ax+my=1
        return (x%m+m)%m;
    return -1;//不存在
}

 

补充：求逆元还可以用

ans=abmodm=(amod(m⋅b))/bans=abmodm=(amod(m⋅b))/b

 

4.快速幂quick power

ll qpow(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=1;
    ll k=a;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*k%m;
        k=k*k%m;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

 

ll func(ll a,ll b,ll c)     //a*b%c
{
    long long ret = 0;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ret = (ret + a) % c;
        a = 2 * a % c;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

ll pow_mod(ll a,ll b,ll MOD)
{
    if (a==1)   return 1;
    ll t=a%MOD,ans=1;
    while(b)
    {
        if (b&1)
            ans=func(ans,t,MOD);
        t=func(t,t,MOD);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

 

5.快速乘,直接乘会爆ll时需要它，也叫二分乘法。

ll qmul(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=0;
    ll k=a;
    ll f=1;//f是用来存负号的
    if(k<0){f=-1;k=-k;}
    if(b<0){f*=-1;b=-b;}
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans+k)%m;
        k=(k+k)%m;
        b>>=1;
    }
    return ans*f;
}

6.中国剩余定理CRT (x=ai mod mi)

ll china(ll n, ll *a,ll *m) {
    ll M=1,y,x=0,d;
    for(ll i = 1; i <= n; i++) M *= m[i];
    for(ll i = 1; i <= n; i++) {
        ll w = M /m[i];
        exgcd(m[i], w, d, y);//m[i]*d+w*y=1
        x = (x + y*w*a[i]) % M;
    }
    return (x+M)%M;
}

7.筛素数，全局：int cnt,prime[N],p[N];

void isprime()
{
    cnt = 0;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j=i+i; j<N; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

 miller rabin  O（1）

  typedef long long ll;
  ll ModMul(ll a,ll b,ll n)//快速积取模 a*b%n
  {
      ll ans=0;
      while(b)
      {
          if(b&1)
            ans=(ans+a)%n;
          a=(a+a)%n;
          b>>=1;
      }
      return ans;
  }
  ll ModExp(ll a,ll b,ll n)//快速幂取模 a^b%n
  {
      ll ans=1;
      while(b)
      {
          if(b&1)
            ans=ModMul(ans,a,n);
          a=ModMul(a,a,n);
          b>>=1;
      }
      return ans;
  }
  bool miller_rabin(ll n)//Miller-Rabin素数检测算法
  {
      ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
      if(n==2)
        return true;
      if(n<2||!(n&1))
        return false;
      for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//n-1=u*2^t
      for(i=0;i<s;i++)
      {
          a=rand()%(n-1)+1;
          x=ModExp(a,u,n);
          for(j=0;j<t;j++)
          {
              y=ModMul(x,x,n);
              if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                return false;
              x=y;
          }
          if(x!=1)
            return false;
      }
      return true;
  }

 

8.快速计算逆元

补充：>>关于快速算逆元的递推式的证明<<　

void inverse(){
    inv[1] = 1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(i >= M) break;
        inv[i] = (M-M/i)*inv[M%i]%M;
    }
}

 

9.组合数取模

n和m 10^5时，预处理出逆元和阶乘

ll fac[N]={1,1},inv[N]={1,1},f[N]={1,1};
ll C(ll a,ll b){
    if(b>a)return 0;
    return fac[a]*inv[b]%M*inv[a-b]%M;
}
void init(){//快速计算阶乘的逆元
    for(int i=2;i<N;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%M;
        f[i]=(M-M/i)*f[M%i]%M;
        inv[i]=inv[i-1]*f[i]%M;
    }
}

 

n较大10^9，但是m较小10^5时，

ll C(ll n,ll m){
    if(m>n)return 0;
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans=ans*(n-i+1)%M*qpow(i,M-2,M)%M;
    return ans;
}

 

n和m特别大10^18时但是p较小10^5时用lucas

10.Lucas大组合取模　

#define N 100005
#define M 100007
ll n,m,fac[N]={1};
ll C(ll n,ll m){
    if(m>n)return 0;
    return fac[n]*qpow(fac[m],M-2,M)%M*qpow(fac[n-m],M-2,M)%M;//费马小定理求逆元
}
ll lucas(ll n,ll m){
    if(!m)return 1;
    return(C(n%M,m%M)*lucas(n/M,m/M))%M;
}
void init(){
    for(int i=1;i<=M;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%M;
}

 

 11.欧拉函数

ll mul(ll x, ll y) {
    return 1ll * x * y % mod;
}

ll Phi(ll N) {
    ll ans = 1;
    for(ll i = 2; i * i <= N; i++) {
        if(!(N % i)) {
            ans = mul(ans, i - 1); N /= i;
            while(!(N % i)) ans *= i, N /= i;
        }
    }
    if(N ^ 1) ans *= N - 1;
    return ans;
}