Luogu 4781 【模板】拉格朗日插值
模板题。
拉格朗日插值的精髓在于这个公式
$$f(x) = \sum_{i = 1}^{n}y_i\prod _{j \neq i}\frac{x - x_i}{x_j - x_i}$$
其中$(x_i, y_i)$是给定的$n$个点值。
代入任何一个给定的点值坐标$x_k$,都会发现这个式子等于$y_k$成立,因为对于任何$i \neq k$,后面的系数都至少有一项为$0$,而当$i == k$的时候,后面那一项一定为$1$,这样子就可以保证代进去的点值一定被满足。
因为题目中要求直接代入$x$求值,所以在算这个式子的时候直接把$x$代进去计算就可以了,时间复杂度$O(n^2)$,要不然求系数的过程相当于高斯消元,时间复杂度$O(n^3)$。
Code:
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#include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 2005; const ll P = 998244353LL; int n; ll k, xi[N], yi[N]; template <typename T> inline void read(T &X) { X = 0; char ch = 0; T op = 1; for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') op = -1; for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) X = (X << 3) + (X << 1) + ch - 48; X *= op; } inline ll fpow(ll x, ll y) { ll res = 1LL; for (; y > 0; y >>= 1) { if (y & 1) res = res * x % P; x = x * x % P; } return res; } int main() { read(n), read(k); for (int i = 1; i <= n; i++) read(xi[i]), read(yi[i]); ll ans = 0LL; for (int i = 1; i <= n; i++) { ll mul1 = 1LL, mul2 = 1LL; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (i == j) continue; mul1 = mul1 * ((k - xi[j] + P) % P) % P; mul2 = mul2 * ((xi[i] - xi[j] + P) % P) % P; } ans = (ans + yi[i] * mul1 % P * fpow(mul2, P - 2) % P) % P; } printf("%lld\n", ans); return 0; }