手把手教会你模拟退火算法
今天终于用模拟退火过了一道题：CodeVS: P1344。
有 N ( <=20 ) 台 PC 放在机房内，现在要求由你选定一台 PC，用共 N-1 条网线从这台机器开始一台接一台地依次连接他们，最后接到哪个以及连接的顺序也是由你选定的，为了节省材料，网线都拉直。求最少需要一次性购买多长的网线。（说白了，就是找出 N 的一个排列 P1 P2 P3 ..PN 然后 P1 -> P2 -> P3 -> ... -> PN 找出 |P1P2|+|P2P3|+...+|PN-1PN| 长度的最小值)
这种问题被称为最优组合问题。传统的动态规划算法O(n22n)在n = 20的情况下空间、时间、精度都不能满足了。这时应该使用比较另类的算法。随机化算法在n比较小的最优化问题表现较好，我们尝试使用随机化算法。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<ctime> 4 #include<cmath> 5 #include<algorithm> 6 7 const int maxn = 21; 8 double x[maxn], y[maxn]; 9 double dist[maxn][maxn]; 10 int path[maxn]; 11 int n; 12 double path_dist(){ 13 double ans = 0; 14 for(int i = 1; i < n; i++) { 15 ans += dist[path[i - 1]][path[i]]; 16 } 17 return ans; 18 } 19 int main(){ 20 srand(19260817U); // 使用确定的种子初始化随机函数是不错的选择 21 scanf("%d", &n); 22 for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf%lf", x + i, y + i); 23 for(int i = 0; i < n; i++) for(int j = i + 1; j < n; j++) dist[i][j] = dist[j][i] = hypot(x[i] - x[j], y[i] - y[j]); 24 25 for(int i = 0; i < n; i++) path[i] = i; // 获取初始排列 26 double ans = path_dist(); // 初始答案 27 int T = 30000000 / n; // 单次计算的复杂度是O(n)，这里的30000000是试出来的 28 while(T--){ 29 std::random_shuffle(path, path + n); // 随机打乱排列 30 ans = std::min(ans, path_dist()); // 更新最小值 31 } 32 printf("%.2lf", ans); 33 }
可惜的是，这个算法只能拿50分。使用O(n!)枚举排列和使用上述算法没有太大的不同。从解的角度分析，假如某一次计算尝试出了一个比较好的路径，那么最优的路径很可能可以在原基础上作一两次改动就可以得到，这时候完全打乱整个序列不是一个很好的选择。
另一个方法：根据原序列生成一个新的序列，然后交换新序列的任意两个数。假如说新生成的序列更优，则使用新序列继续计算，否则序列不变。
这个算法就是局部搜索法（爬山法）。可惜，这个算法不正确。这个算法只顾眼前，忽略了大局，只要更优便走，这样可能会造成“盯着眼前的小山包，忽略远处的最高峰”，找到的值往往只是“局部最优值”。当然——这个方法也并不是完全不正确。我们可以多次计算使用上述方法计算，取最值。这里不再赘述。
下面介绍退火算法（SA,Simulated Annealing）。
首先拿爬山做例子：我们要找到山脉的最高峰，但是我（计算机）只能看到我的脚下哪边是上升的，哪边是下降的，看不到远处是否上升。每次移动，我们随机选择一个方向。如果这个方向是上升的的（更优），那么就决定往那个方向走；如果这个方向是下降的（更差），那么“随机地接受”这个方向，接受就走，不接受就再随机一次——这个随机是关键，要考虑很多因素。比如，一个陡的下坡的接受率要比一个缓的下坡要小（因为陡的下坡后是答案的概率小）；同样的下降坡度，接受的概率随时间降低（逐渐降低才能趋向稳定）。
为什么要接受一个更差的解呢？如下图所示：
如果坚决不接受一个更差的解，那么就会卡在上面的“当前位置”上了。倘若接受多几次更差的解，让他移动到山谷那里，则可以突破局部最优解，得到全局最优解。
既然这个随机这么重要，那么我们就将它写为一个函数：
bool accept(double delta, double temper){ if(delta <= 0) return true; return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX; }
其中delta是新答案的变化量，temper是当前的“温度”。温度是模拟退火算法的一个重要概念，它随时间的推移缓慢减小。我们来分析一下这个代码：
if(delta <= 0) return true;
由于答案越小越优，因此当温度的变化量小于零（新答案减小）时，新解比旧解优，因此返回“接受”
return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX;
RAND_MAX是rand()的最大值。为了保证跨平台、跨编译器甚至跨版本时的正常运作，我们不对其作出任何假定。
我们把它移项：return (double)rand() / RAND_MAX <= exp((-delta) / temper)。在右边，temper是正数，delta是正数（delta是负数的已经return出去了），因此exp()中间的参数是负数。我们知道，指数函数在参数是负数时返回(0, 1)——这就是接受的概率。我们在左边随机一个实数，如果它比概率小，就接受，否则就不接受。
然后将RAND_MAX移到右边，以省下昂贵的除法成本和避免浮点数的各种陷阱。
有了接受函数，就可以写计算过程了：
double solve(){ const double max_temper = 10000; double temp = max_temper; double dec = 0.999; Path p; while(temp > 0.1){ Path p2(p); if(accept(p2.dist() - p.dist(), temp)) p = p2; temp *= dec; } return p.dist(); }
其中Path是路径，它有一个构造函数是接受另一个Path类型的对象，然后交换其中两个点的顺序。
1 struct Path{ 2 City path[maxn]; 3 4 Path(){ 5 F(i, n) path[i] = citys[i]; 6 } 7 8 Path(const Path& p):path(p.path){ 9 swap(path[rand() % n], path[rand() % n]); 10 } 11 12 void shuffle(){ 13 random_shuffle(path, path + n); 14 } 15 16 double dist(){ 17 double ans = 0; 18 for(int i = 1; i < n; i++){ 19 ans += path[i - 1].distTo(path[i]); 20 } 21 return ans; 22 } 23 };
上文的City是路径一个点。而void shuffle()是随机打乱整个序列（在本题没有用上）。
下面是City的定义：
1 struct City{ 2 double x, y; 3 City(){} 4 City(double x, double y):x(x), y(y){} 5 double distTo(const City& rhs) const { 6 return hypot(x - rhs.x, y - rhs.y); 7 } 8 friend istream& operator >> (istream& in, City& c){ 9 return in >> c.x >> c.y; 10 } 11 }citys[maxn];
最后是程序的主框架：
1 int main(){ 2 srand(19260817U); 3 ios::sync_with_stdio(false); 4 cin >> n; 5 F(i, n) cin >> citys[i]; 6 double ans = 1./0; 7 int T = 15; 8 while(T--){ 9 ans = min(ans, solve()); 10 } 11 printf("%.2lf", ans); 12 }
完整代码如下：
1 #define F(i, n) for(int i = 0; i < n; i++) 2 #define F1(i,n) for(int i = 1; i <=n; i++) 3 #include<cmath> 4 #include<algorithm> 5 #include<iostream> 6 #include<cstdio> 7 using namespace std; 8 9 const int maxn = 21; 10 int n; 11 struct City{ 12 double x, y; 13 City(){} 14 City(double x, double y):x(x), y(y){} 15 double distTo(const City& rhs) const { 16 return hypot(x - rhs.x, y - rhs.y); 17 } 18 friend istream& operator >> (istream& in, City& c){ 19 return in >> c.x >> c.y; 20 } 21 }citys[maxn]; 22 23 struct Path{ 24 City path[maxn]; 25 26 Path(){ 27 F(i, n) path[i] = citys[i]; 28 } 29 30 Path(const Path& p):path(p.path){ 31 swap(path[rand() % n], path[rand() % n]); 32 } 33 34 void shuffle(){ 35 random_shuffle(path, path + n); 36 } 37 38 double dist(){ 39 double ans = 0; 40 for(int i = 1; i < n; i++){ 41 ans += path[i - 1].distTo(path[i]); 42 } 43 return ans; 44 } 45 }; 46 47 48 49 bool accept(double delta, double temper){ 50 if(delta <= 0) return true; 51 return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX; 52 } 53 54 double solve(){ 55 const double max_temper = 10000; 56 double temp = max_temper; 57 double dec = 0.999; 58 Path p; 59 while(temp > 0.1){ 60 Path p2(p); 61 if(accept(p2.dist() - p.dist(), temp)) p = p2; 62 temp *= dec; 63 } 64 return p.dist(); 65 } 66 67 int main(){ 68 srand(19260817U); 69 ios::sync_with_stdio(false); 70 cin >> n; 71 F(i, n) cin >> citys[i]; 72 double ans = 1./0; 73 int T = 155; 74 while(T--){ 75 ans = min(ans, solve()); 76 } 77 printf("%.2lf", ans); 78 }
其实本代码在很多地方写复杂了，比如累赘的City类。在比赛中，我们不会写得如此复杂。下面对其简化：
1 #include<cstring> 2 #include<cmath> 3 #include<algorithm> 4 #include<iostream> 5 #include<cstdio> 6 using namespace std; 7 8 const int maxn = 21; 9 int n; 10 double x[maxn], y[maxn]; 11 double dist[maxn][maxn]; 12 13 struct Path{ 14 int path[maxn]; 15 16 Path(){ 17 for(int i = 0; i < n; i++) path[i] = i; 18 } 19 20 Path(const Path& p){ 21 memcpy(path, p.path, sizeof path); 22 swap(path[rand() % n], path[rand() % n]); 23 } 24 25 double dist(){ 26 double ans = 0; 27 for(int i = 1; i < n; i++){ 28 ans += ::dist[path[i - 1]][path[i]]; 29 } 30 return ans; 31 } 32 }; 33 34 35 36 bool accept(double delta, double temper){ 37 if(delta <= 0) return true; 38 return rand() <= exp((-delta) / temper) * RAND_MAX; 39 } 40 41 double solve(){ 42 const double max_temper = 10000; 43 const double dec = 0.999; 44 double temp = max_temper; 45 Path p; 46 while(temp > 0.01){ 47 Path p2(p); 48 if(accept(p2.dist() - p.dist(), temp)) p = p2; 49 temp *= dec; 50 } 51 return p.dist(); 52 } 53 54 int main(){ 55 srand(19260817U); 56 cin >> n; 57 for(int i = 0; i < n; i++) { 58 scanf("%lf%lf", x + i, y + i); 59 } 60 for(int i = 0; i < n; i++){ 61 dist[i][i] = 0; 62 for(int j = i + 1; j < n; j++){ 63 dist[i][j] = dist[j][i] = hypot(x[i] - x[j], y[i] - y[j]); 64 } 65 } 66 double ans = 1./0; 67 int T = 155; 68 while(T--){ 69 ans = min(ans, solve()); 70 } 71 printf("%.2lf", ans); 72 }
交上去就可以AC了。
由于随机化算法有一定不稳定性，这里要多次调用计算过程取最小值。T=155就是外循环次数。
值得注意的是，T=15就可以过80%的数据，T=42可以过完全部数据，此时最大数据运行时间为86ms。这里T取155是保险起见，毕竟时间足够。
上面的代码仍有改进的余地。比如，在solve()函数中，应当把最优解记下来，在返回解时返回记下的那个最优解，免得跳到了某些差解后返回差解。
下面是一张表供大家估算运行时间，左边是“降温系数”，上方是初温与末温的比值，表格内容是大致的迭代次数。
从上表可以看出，增加十倍的初温与末温比值只会增加约25%的迭代次数，而往0.9…99的后面加个9会增加十倍的运行时间。
除了记忆上表外，我们还可以通过记录退火次数（将tot初始化为零，每次产生新解时tot++，计算完后看看tot）或者使用计算器计算退火次数。计算后选择一个合适的外循环次数。
除此之外，我们还要根据数据规模，灵活地调整初温、末温与降温系数。一般来说，初温不宜太大，否则会让前几次迭代接受了很差的解，浪费时间；降温系数不宜过大，否则会让算法过早稳定，不能找到最优值；同样，降温系数也不宜太高（更不能大于1，不然温度越来越高），否则可能会超时。
在正式使用中还有些技巧，如每次降温后，做足够多次计算后才再次降温（内循环），这对算法准确性没有太大影响。
除了模拟退火外，还有不少随机化算法。比如遗传算法、蚁群算法，这些算法被称为“元启发算法”，有兴趣的读者可以查阅相关资料。
