[dp] Jzoj P5804 简单的序列

Description

从前有个括号序列 s，满足 |s| = m。你需要统计括号序列对 (p, q) 的数量。
其中 (p, q) 满足 |p| + |s| + |q| = n，且 p + s + q 是一个合法的括号序列。

 

Input

从文件 bracket.in 中读入数据。第一行两个正整数 n, m。
第二行一个长度为 m 的括号序列，表示 s。
 

Output

输出到文件 bracket.out 中。
输出一行一个整数，表示符合条件的 (p, q) 的数量对 10^9 + 7 取模的值。
 
 

 

Sample Input

【样例 1 输入】
4 1 (
【样例 2 输入】
4 4 (())
【样例 3 输入
4 3 (((
 

Sample Output

【样例 1 输出】
4
【样例 2 输出】
1
【样例 3 输出】
0
 

 

Data Constraint

对于 10% 的数据，n ≤ 20；
对于 25% 的数据，n ≤ 200；
对于另外 5% 的数据，n = m；
对于 55% 的数据，n − m ≤ 200；
对于 100% 的数据，1 ≤ m ≤ n ≤ 10^5, n − m ≤ 2000。

 

题解

• 我们可以把左括号看成+1，右括号看成-1
• 那么一个合法的括号序列就是左括号>=右括号
• 设f[i][j]为长度为i的序列 左括号比右括号多j个 的方案数
• 状态转移方程明显就是：f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1]
• 那么考虑如何求最终的方案数
• 首先要满足左括号多于右括号，和 |p| + |s| + |q| = n
• 每次枚举一个i表示前面的p序列的长度，再枚举一个j表示p序列左括号比右括号多的个数
• 那么就是f[i][j]*f[n-m-i][j+tot]（tot为原来序列中左括号比右括号多的个数）

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const long long mo=1e9+7;
int n,m,tot,ltot;
char s[100010];
long long ans,f[2010][2010];
int main()
{
    freopen("bracket.in","r",stdin);
    freopen("bracket.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",s);
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        if (s[i]=='(') tot++; else tot--;
        if (i==0) ltot=tot; else ltot=min(tot,ltot);
    }
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n-m;i++)
        for (int j=0;j<=i;j++)
            if (j==0) f[i][j]=f[i-1][j+1];
            else f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1])%mo;
    for (int i=0;i<=n-m;i++)
        for (int j=0;j<=i;j++)
            if (j+tot<=n-m&&j+ltot>=0)
                (ans+=f[i][j]*f[n-m-i][j+tot])%=mo;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}