[斯特林数][自然数幂和] Jzoj P4220 WYF的盒子

Description

WYF有一个精致的k维立方体盒子（2维为正方形，3维为正方体，以此类推）。这个盒子的边长为n，里面有一个边长为n-1的盒子，边长为n-1的盒子里面还有一个边长为n-2的盒子……最里面的盒子边长为m。现在WYF想知道这n-m+1个盒子的k维体积和模p的余数。

 

Input

输入共一行包含4个正整数k, n, m, p。

Output

输出共一行包含1个正整数，表示n-m+1个盒子的k维体积之和模p的余数。

 

Sample Input

输入1：
4 2 2 97

输入2：
1 100 1 10007
 

Sample Output

输出1：
16
【样例说明】
边长为2的4维立方体的4维体积为16。

输出2
5050

 

Data Constraint

 

题解

• 这道题显然就是要求
• 我们先考虑一下若何求一个i^k，对于第二类斯特林数我们知道Si,j表示为把i个有区别的球放入j个无区别的盒子的方案数（不存在空盒）
• 显然i^k也可以理解为将i个不同的盒子放入k个不同的球的方案数（允许空盒）
• 现在把允许空盒转换为每个盒子至少放一个球的方案数，对于存在k-j空盒的方案数就是 S[k][j]*C(i,j)*j!
• 这样的话我们就可以得出
• 
• 已知，
• 所以，
• 最后的话，这个东西怎么求呢，可以预处理斯特林数，再加个快速幂和防爆longlong的奇技淫巧就好了

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define ll long long
#define N 2010
using namespace std;
ll k,n,m,p,ans,s[N][N];
ll mul(ll x,ll y)
{
    ll l=1e6,a1=x/l,a2=x%l,b1=y/l,b2=y%l;
    return (a1*b1%p*l%p*l%p+a1*b2%p*l%p+b1*a2%p*l%p+a2*b2%p)%p;
}
ll ksm(ll a,ll b)
{
    ll r=1;
    for (;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if (b&1) r=mul(r,a);
    return r;
}
ll calc(ll n)
{
    ll ans=0;
    for (ll i=0;i<=k;i++)
    {
        ll r=s[k][i];
        for (ll j=n+1;j>=n+1-i;j--) r=mul(r,(j%(i+1)==0)?j/(i+1):j);
        ans=(ans+r)%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&k,&n,&m,&p),s[0][0]=1;
    if (k>2000)
    {
        for (ll i=m;i<=n;i++) ans=(ans+ksm(i,k))%p;
        printf("%lld",ans); return 0;
    }
    for (ll i=1;i<=k;i++) for (ll j=1;j<=i;j++) s[i][j]=(s[i-1][j-1]+j*s[i-1][j]%p+p)%p;
    printf("%lld",(calc(n)-calc(m-1)+p)%p);
}