树状数组 / 二维树状数组

一维树状数组

· 单点修改 + 单点查询：

　　直接使用即可

· 区间修改 + 单点查询：

　　另外维护一个维护前缀和的树状数组，查询时查询与原值相加即可。

· 区间修改 + 区间查询：

　　若要查询区间$[1, R]$的区间和，可推公式，其中$D[i]$表示差分数组：

$\sum\limits_{i=1}^R \sum\limits_{j=1}^i D[j]$

 

$= \sum\limits_{i=1}^R (R - i + 1) * D[i]$

 

$= (x + 1) \sum\limits_{i=1}^R D[i] -  \sum\limits_{i=1}^R (i * D[i])$

 　　此时维护$\sum D[i]$及$\sum (i * D[i])$就好了。

 

二维树状数组

· 单点修改 + 单点查询：

　　二维树状数组就是在一维的基础上维护一个矩阵，直接维护即可。

· 区间修改 + 单点查询：

　　由$Sum[i][j] = Sum[i - 1][j] + Sum[i][j - 1] - Sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]$得到启发，可以维护形似$a[i][j] -> a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]$的差分数组，加如下代码即可：

void Add_Main (int x1, int y1, int x2, int y2, int delta) {
    Add (x1, y1, delta);
    Add (x2 + 1, y1, - delta);
    Add (x1, y2 + 1, - delta);
    Add (x2 + 1, y2 + 1, delta);
}

· 区间修改 + 区间查询：

　　推公式，可以由每个二元组$(x, y)$的出现次数得：

$\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m\sum\limits_{i=1}^x\sum\limits_{j=1}^yD[i][j]$

 

 

$= \sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m D[x][y] (n - x + 1) (m - y + 1)$

 

 

$= \sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m (D[x][y] (n + 1) (m + 1) - D[x][y] (n + 1) * y - D[x][y] (m + 1) * x + D[x][y] * x * y)$

 

　　同一维树状数组的区间修改 + 区间查询，维护四个二维树状数组即可。

· 完整代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 2048 + 10;

int N, M;

char opt[5];

int lowbit (int x) {
    return x & (- x);
}

int Tree1[MAXN][MAXN]= {0};
int Tree2[MAXN][MAXN]= {0};
int Tree3[MAXN][MAXN]= {0};
int Tree4[MAXN][MAXN]= {0};

void Add (int x, int y, int delta) {
    int tx = x, ty = y;
    while (x <= N) {
        y = ty;
        while (y <= M) {
            Tree1[x][y] += delta;
            Tree2[x][y] += ty * delta;
            Tree3[x][y] += tx * delta;
            Tree4[x][y] += tx * ty * delta;
            y += lowbit (y);
        }
        x += lowbit (x);
    }
}

void Add_Main (int x1, int y1, int x2, int y2, int delta) {
    Add (x1, y1, delta);
    Add (x2 + 1, y1, - delta);
    Add (x1, y2 + 1, - delta);
    Add (x2 + 1, y2 + 1, delta);
}

int Query (int x, int y) {
    int tx = x, ty = y;
    int cnt = 0;
    while (x >= 1) {
        y = ty;
        while (y >= 1) {
            cnt += (tx + 1) * (ty + 1) * Tree1[x][y];
            cnt -= (tx + 1) * Tree2[x][y];
            cnt -= (ty + 1) * Tree3[x][y];
            cnt += Tree4[x][y];
            y -= lowbit (y);
        }
        x -= lowbit (x);
    }

    return cnt;
}

int Query_Main (int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return Query (x2, y2) - Query (x2, y1 - 1) - Query (x1 - 1, y2) + Query (x1 - 1, y1 - 1);
}

int getnum () {
    int num = 0;
    char ch = getchar ();
    int flag = 0;

    while (! isdigit (ch)) {
        if (ch == '-')
            flag = 1;
        ch = getchar ();
    }
    while (isdigit (ch))
        num = (num << 3) + (num << 1) + ch - '0', ch = getchar ();

    return flag ? - num : num;
}

int main () {
    scanf ("%s", opt + 1);
    N = getnum (), M = getnum ();

    while (~ scanf ("%s", opt + 1)) {
        if (opt[1] == 'L') {
            int x1, y1, x2, y2;
            int delta;
            x1 = getnum (), y1 = getnum (), x2 = getnum (), y2 = getnum ();
            delta = getnum ();

            Add_Main (x1, y1, x2, y2, delta);
        }
        else {
            int x1, y1, x2, y2;
            x1 = getnum (), y1 = getnum (), x2 = getnum (), y2 = getnum ();

            int ans = Query_Main (x1, y1, x2, y2);
            printf ("%d\n", ans);
        }
    }

    return 0;
}

/*
X 4 4
L 1 1 3 3 2
L 2 2 4 4 1
k 2 2 3 3
*/