关于二叉树形态种类数的证明
· 定理
$n$个节点二叉树形态种类数为$Cat (n)$。
· 证明
很难通过简单递推得到答案,因为会产生重复的情况。
一般我们使用二叉树都是通过递归,故考虑从递归处得到启发。
对于任意$n$个节点的二叉树,它的左右子节点个数是可以被枚举的 —— $1 + (n - 1) / 2 + (n - 2)$...
所以可以通过递归实现,故ƒn = ƒ1 * ƒn - 1 + ƒ2 * ƒn - 2 + ...
满足卡特兰数条件,故定理成立。
· 定理
$n$个节点二叉树形态种类数为$Cat (n)$。
· 证明
很难通过简单递推得到答案,因为会产生重复的情况。
一般我们使用二叉树都是通过递归,故考虑从递归处得到启发。
对于任意$n$个节点的二叉树,它的左右子节点个数是可以被枚举的 —— $1 + (n - 1) / 2 + (n - 2)$...
所以可以通过递归实现,故ƒn = ƒ1 * ƒn - 1 + ƒ2 * ƒn - 2 + ...
满足卡特兰数条件,故定理成立。