南开大学2014年硕士研究生入学考试试题（回忆版）

南开大学2014年硕士研究生入学考试试题（回忆版）

学院：011陈省身数学研究所、012数学科学学院

考试科目：701数学分析

专业：基础数学、应用数学、概率论与数理统计、应用数学、生物信息学

 

一、求极限$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt[n]{n}-1)\sin n\ln n$

二、证明二元函数$
f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}
{e^{ - xy\frac{{\sin x}}{x}}}, & \hbox {$x \ne 0$;} \\
1, & \hbox{$x = 0$.}
\end{array}
\right.$在二维平面上连续。

三、已知$0<a<b,c>0$，求点$(0,0,c)$到曲面$\frac{z}{c}=\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}$的最短距离。

四、求曲面积分$I=\iint\limits_{S}{\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{{{(a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}}$，其中$S$是曲面${{x}^{2}}={{y}^{2}}+{{z}^{2}}$的外侧。

五、求级数$\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{{{(-1)}^{n}}}{3n+2}}$的值。

六、已知$S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\sin nx}{{{n}^{x}}}},0<x<+\infty $，求证：

（1）$S(x)$在$(0,+\infty )$ 上非一致收敛；

（2）$S(x)$在$(0,+\infty )$上连续。

七、已知$f(x)$在$(0,+\infty )$上连续可导

（1）若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=1,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f''(x)=0$，证明$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f'(x)=0$

（2）构造一个函数，使得$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$，但$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f'(x)$不存在

八、已知\[\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{x}_{n}}}\]收敛，证明存在${{\theta }_{n}}=\{-1,1\},n=1,2,\cdots ,$使得\[\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\theta }_{n}}}{{x}_{n}}\]收敛。

九、求$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{k(n-k+1)}}}$