学习笔记——动态DP
一直觉得DDP是一个神奇的东东，直到放弃了保卫王国的神奇倍增法之后才开始学习DDP
模板题：
给定一颗点带权的树，有\(m\)次修改，每次修改一个点的权值，要求在每次修改之后输出整棵树的最大权独立集的权值大小\((n,m\leq 10^5)\)
暴力DP
首先很容易得到没有修改操作时的dp方程（即没有上司的舞会）
设\(f_{i,1}\)表示选\(i\)，\(f_{i,0}\)表示不选\(i\)时的最大权独立集权值大小
\(f_{i,0}=\Sigma{max(f_{v,1},f_{v,0})}\)
\(f_{i,1}=\Sigma{f_{v,0}}+a_i\)
矩阵优化
先将树进行重链剖分
设\(g_{i,1}\)表示选择\(i\)，\(g_{i,0}\)表示不选\(i\)时\(i\)不在重链上的儿子的\(f\)之和（即不算重儿子，\(g\)的转移同上）
得到新的转移方程（\(son\)为重儿子）：
\(f_{i,0}=max(f_{son,1},f_{son,0})+g_{i,0}\)
\(f_{i,1}=f_{son,0}+g_{i,1}\)
这玩意可以变成矩阵形式
\(\begin{bmatrix} f_{i,0}\\ f_{i,1}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} g_{i,0} & g_{i,0}\\ g_{i,1} & -\infty\\ \end{bmatrix} ×\)\(\begin{bmatrix} f_{son,0}\\ f_{son,1}\\ \end{bmatrix}\)
这里改变了一下矩阵的左乘运算，原来的
\(\Sigma{a_{i,k}*b_{k,j}}\)
变成了
\(max(a_{i,k}+b_{k,j})\)
由于\(+\)和\(max\)同样满足\(*\)和\(+\)的运算性质，所以这样替换后的矩阵乘法仍然满足之前的性质
于是将每一个点i变成一个矩阵
\(\begin{bmatrix} g_{i,0} & g_{i,0} \\ g_{i,1} & -\infty \\ \end{bmatrix}\)
修改点权变成了修改矩阵，用一颗线段树来维护这些矩阵的乘积
求解
\(ans=max(f_{i,0},f_{i,1})\)，重链剖分之后，\(ans=query(1,end_{1})\)，end表示一条重链的终点（这条重链会从1号节点出发一直到某个叶子节点，而叶子节点没有儿子，在上面的式子中就相当于没有f矩阵，所以直接等于g矩阵），可以发现求\(ans\)的过程与\(f\)无关，所以我们成功的将\(f\)数组扔掉了，之后的修改操作只与矩阵有瓜
修改一个点\(I\)的权值，会导致\(g_{i,1}\)改变，但是由于与它在同一条重链上的父亲的\(g\)值与\(i\)无关（\(g\)的定义说明了\(g\)值与重链上的点无关），我们不会修改这些点。由此还可以看出，我们只会修改两条重链交界的点，也就是每个\(fa[top[i]]\)，由于重链只有\(log\)条，所以只会单点修改\(log\)次（这一段的思路和大部分树链剖分优化DP相同）
整个算法的时间复杂度就是\(O(2^3*nlog^2n)\)
代码略长，因为是小萌新oier
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 100000000000000;
int n,m;
int seg[N],rev[N],top[N],end[N],size[N],son[N],fa[N],dep[N],hfu;
ll a[N],f[N][2];
struct Matrix
{
ll g[2][2];
Matrix () { memset(g,0,sizeof(g)); }
Matrix operator * (const Matrix &a)const
{
Matrix c;
for(int i=0;i<2;++i)
for(int j=0;j<2;++j)
for(int k=0;k<2;++k)
c.g[i][j]=Max(c.g[i][j],g[i][k]+a.g[k][j]);
return c;
}
}t[N<<2],val[N];
struct Edge
{
int next,to;
}edge[N<<1];int head[N],cnt=1;
void add_edge(int from,int to)
{
edge[++cnt].next=head[from];
edge[cnt].to=to;
head[from]=cnt;
}
template <class T>
void read(T &x)
{
char c;int sign=1;
while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48; x*=sign;
}
void dfs1(int rt)
{
size[rt]=1;
dep[rt]=dep[fa[rt]]+1;
for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(v==fa[rt]) continue;
fa[v]=rt;
dfs1(v);
size[rt]+=size[v];
if(size[v]>size[son[rt]]) son[rt]=v;
f[rt][0]+=Max(f[v][0],f[v][1]);
f[rt][1]+=f[v][0];
}
}
void dfs2(int rt)
{
if(son[rt])
{
seg[son[rt]]=++hfu;
rev[hfu]=son[rt];
top[son[rt]]=top[rt];
end[top[rt]]=son[rt];
//还要搞一个重链的结尾位置
dfs2(son[rt]);
}
for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(v==fa[rt]||v==son[rt]) continue;
seg[v]=++hfu;
rev[hfu]=v;
top[v]=v;
end[v]=v;
dfs2(v);
}
}
void update(int rt,int l,int r,int x)
{
if(l==r)
{
t[rt]=val[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) update(rt<<1,l,mid,x);
else update(rt<<1|1,mid+1,r,x);
t[rt]=t[rt<<1]*t[rt<<1|1];
}
Matrix query(int rt,int l,int r,int x,int y)
{
if(x<=l&&r<=y) return t[rt];
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid&&y<=mid) return query(rt<<1,l,mid,x,y);
if(x>mid&&y>mid) return query(rt<<1|1,mid+1,r,x,y);
return query(rt<<1,l,mid,x,y)*query(rt<<1|1,mid+1,r,x,y);
}
void build(int rt,int l,int r)
{
if(l==r)
{
int u=rev[l];
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;
t[rt].g[0][0]+=Max(f[v][0],f[v][1]);
t[rt].g[1][0]+=f[v][0];
}
t[rt].g[0][1]=t[rt].g[0][0];
t[rt].g[1][0]+=a[u];
val[l]=t[rt];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(rt<<1,l,mid);
build(rt<<1|1,mid+1,r);
t[rt]=t[rt<<1]*t[rt<<1|1];
}
void modify_edge(int rt,ll w)
{
val[seg[rt]].g[1][0]+=w-a[rt];
a[rt]=w;
Matrix las,now;
while(rt)
{
las=query(1,1,n,seg[top[rt]],seg[end[top[rt]]]);
update(1,1,n,seg[rt]);
now=query(1,1,n,seg[top[rt]],seg[end[top[rt]]]);
rt=fa[top[rt]];
val[seg[rt]].g[0][0]+=Max(now.g[0][0],now.g[1][0])-Max(las.g[0][0],las.g[1][0]);
val[seg[rt]].g[0][1]=val[seg[rt]].g[0][0];
val[seg[rt]].g[1][0]+=now.g[0][0]-las.g[0][0];
}
}
int main()
{
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]),f[i][1]=a[i];
for(int i=1;i<n;++i)
{
int x,y;
read(x);read(y);
add_edge(x,y);
add_edge(y,x);
}
seg[1]=rev[1]=top[1]=hfu=1;
dfs1(1); dfs2(1);
build(1,1,n);
while(m--)
{
int x; ll y;
read(x);read(y);
modify_edge(x,y);
Matrix ans=query(1,1,n,seg[1],seg[end[1]]);
printf("%lld\n",Max(ans.g[0][0] , ans.g[1][0]));
}
return 0;
}
cv一遍就可以将保卫王国过了，强制选或不选就等价于将某个点的点权赋为(-)INF，最小点权覆盖集=全集-最大点权独立集
