数论随笔（待补充）

只列举了做题中用到过的一些数学定理，先暂时整理一部分。

 

1、求n的位数:

　　log10(n)

 

2、n为质数: 

　　a^m = a^(m % (n-1))  (mod n)

 

3、欧拉函数:

　　小于等于n的数中，与n互质的数的数目。

　　Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),

　　其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。

　　euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 

　　

　　补充性质：

　　（1）对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1。

　　（2）对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。（欧拉定理）

　　（3）若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

　　（4）若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

　　（5）当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

　　（6）设a为N的质因数，

　　　　　若( a | (N/a) ) 则有φ(N) = φ(N / a) * a；

　　　　　否则：φ(N) = φ(N / a) * (a - 1)。

　　（7）一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

 

4、卡特兰数

　　令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足:

　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)  (n>=2)

 

　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

　　h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

 

　　应用：括号化、出栈次序、凸多边形三角划分、给定节点组成二叉树

　　

　　扩展：对于在n位的2进制中，有m个0，其余为1的catalan数为：C（n,m）-C(n,m-1)。