1418 抱歉 ACM 欧拉公式
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1418
思路:一看题目,明显是要求我们找规律,于是我就在草稿纸上画了很多个图像,还是没有找到规律,于是我就在网上看了些大佬 的代码,发现他们用了欧拉公式,what 什么是欧拉公式,~~~~~~~~~~~~~~~~~
Google了哈,看了哈百度百科的解释,一下是我看懂的部分,看上去很高大上,实际很实用。
欧拉公式
在任何一个规则球面地图上,用 R记区域个 数 ,V记顶点个数 ,E记边界个数 ,则 R+ V- E= 2,这就是欧拉公式。
区域+顶点-边界=2
柯西的证明
从多面体去掉一面,通过把去掉的面的边互相拉远,把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性,可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是,点,边和面的个数保持不变,和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)
重复一系列可以简化网络却不改变其欧拉数(也是欧拉示性数)
的额外变换
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D66/sign=515821ed910a304e5622a3fcd0c81457/4bed2e738bd4b31c2b46c15281d6277f9f2ff8e5.jpg)
若有一个多边形面有3条边以上,我们划一个对角线。这增加一条边和一个面。继续增加边直到所有面都是三角形。
-
除掉只有一条边和外部相邻的三角形。这把边和面的个数各减一而保持顶点数不变。
-
(逐个)除去所有和网络外部共享两条边的三角形。这会减少一个顶点、两条边和一个面。
重复使用第1步和第2步直到只剩一个三角形。对于一个三角形
(把外部数在内)
,
。所以
。
![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D37/sign=caa5e0d31fd8bc3ec20800cd838b1db1/b21bb051f8198618905eba6d4ced2e738bd4e63a.jpg)
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D37/sign=99dfe352a01ea8d38e227203960a18b0/dbb44aed2e738bd41939e6d8a78b87d6277ff93b.jpg)
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D39/sign=9aaa70e15543fbf2c12ca02ab27ec785/71cf3bc79f3df8dc8df6da78cb11728b4610280b.jpg)
![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D94/sign=413f19e80c55b31998f98e7141a9af8b/242dd42a2834349bedc73b6ccfea15ce37d3be12.jpg)
//在每次进行1 2步骤时,都是符合公式
。//
![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D94/sign=413f19e80c55b31998f98e7141a9af8b/242dd42a2834349bedc73b6ccfea15ce37d3be12.jpg)
推理证明
设想这个多面体是先有一个面,然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面,因此要添(F-1)个面.
考察第Ⅰ个面,设它是n边形,有n个顶点,n条边,这时E=V,即棱数等于顶点数.
添上第Ⅱ个面后,因为一条棱与原来的棱重合,而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合,所以增加的棱数比增加的顶点数多1,因此,这时E=V+1.
以后每增添一个面,总是增加的棱数比增加的顶点数多1,例如
增添两个面后,有关系E=V+2;
增添三个面后,有关系E=V+3;
……
增添(F-2)个面后,有关系E=V+ (F-2).
最后增添一个面后,就成为多面体,这时棱数和顶点数都没有增加.因此,关系式仍为E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
这个公式叫做欧拉公式.它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1358590/201809/1358590-20180926212627454-25149704.png)
Code:
但是要注意的是,当区域只有一个时,表明这些顶点没有相连,又要满足没有都至少有两个曲线的要求,要单独算,例如n=4,n=1,如图
![](https://img2018.cnblogs.com/blog/1358590/201809/1358590-20180926211745079-2139023119.png)
#include <cstdio> #include <algorithm> int main() { long long n,m; while(scanf("%lld%lld",&n,&m),n+m) { if(m==1) { printf("%lld\n",n+1); } else { printf("%lld\n",n+m-2); } } return 0; }
实际上 ,觉得题目有问题,当n=6 ,m=3时 欧拉公式就是7,我还可能画出6.
后来,我觉得,题目应该多个要求,那就是:一个个图形不能用多个图形来划分区域。