「网络流24题」 18. 分配问题
「网络流24题」 18. 分配问题
费用流其实是可以做这题的。
但这篇主要说一下二分图最佳完美匹配——Kuhn-Munkres(KM)算法。
工作是X部，费用是Y部，边权为工作效益。
通过X部减去/Y部增加增广路上的松弛量，修改「顶标」（又称标杆）。
初始顶标：X部点：最大权出边的边权；Y部点：0。
跑出来后，所有顶标和是最大效益。
所有边取负，跑出来的和的相反数是最小效益。
具体请看此篇题解。
KM写法
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN=210,MAXM=10010,INF=0x3f3f3f3f;
bool vis[MAXN];
int n,cnt,ans,head[MAXN],match[MAXN],mark[MAXN];
struct edge
{
int nxt,to,w;
}e[MAXM];
void AddEdge(int u,int v,int w)
{
e[++cnt].nxt=head[u];
e[cnt].to=v;
e[cnt].w=w;
head[u]=cnt;
}
void Init(bool flag)
{
ans=0;
memset(match,0,sizeof match);
memset(mark,0xb0,sizeof mark);
for(int u=1;u<=n;++u)
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
mark[u]=max(mark[u],flag ? e[i].w=-e[i].w : e[i].w),mark[e[i].to]=0;
}
bool DFS(int u)
{
vis[u]=1;
for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt)
if(!vis[v=e[i].to] && e[i].w==mark[u]+mark[v])
{
vis[v]=1;
if(!match[v] || DFS(match[v]))
{
match[v]=u;
return 1;
}
}
return 0;
}
void Update(void)
{
int d=INF;
for(int u=1;u<=n;++u)
if(vis[u])
for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt)
if(!vis[v=e[i].to])
d=min(d,mark[u]+mark[v]-e[i].w);
for(int i=1,j;i<=n;++i)
{
if(vis[i])
mark[i]-=d;
if(vis[j=i+n])
mark[j]+=d;
}
}
void KM(bool flag)
{
Init(flag);
for(int i=1;i<=n;++i)
while(1)
{
memset(vis,0,sizeof vis);
if(DFS(i))
break;
Update();
}
for(int i=1;i<=n;++i)
ans+=mark[i]+mark[i+n];
printf("%d\n",flag ? ans : -ans);
}
int main(int argc,char *argv[])
{
scanf("%d",&n);
memset(mark,0xb0,sizeof mark);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1,w;j<=n;++j)
{
scanf("%d",&w);
AddEdge(i,j+n,-w);
}
KM(0);
KM(1);
return 0;
}
MCMF写法
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN=210,MAXM=10210,INF=0x3f3f3f3f;
bool exist[MAXN];
int n,S,T,cnt,ans,head[MAXN],dis[MAXN],flow[MAXN],pre[MAXN],pre_e[MAXN],c[MAXN][MAXN];
struct edge
{
int nxt,to,w,p;
}e[MAXM];
void AddEdge(int u,int v,int w,int p)
{
e[++cnt].nxt=head[u];
e[cnt].to=v;
e[cnt].w=w;
e[cnt].p=p;
head[u]=cnt;
}
void AddEdges(int u,int v,int w,int p)
{
AddEdge(u,v,w,p);
AddEdge(v,u,0,-p);
}
void Init(bool flag)
{
cnt=ans=0;
memset(head,0,sizeof head);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
AddEdges(S,i,1,0);
AddEdges(i+n,T,1,0);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
AddEdges(i,j+n,1,flag ? c[i][j] : -c[i][j]);
}
bool SPFA(void)
{
queue<int> q;
memset(exist,0,sizeof exist);
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
memset(flow,0x3f,sizeof flow);
memset(pre,0,sizeof pre);
memset(pre_e,0,sizeof pre_e);
q.push(S);
exist[S]=dis[S]=1;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
exist[u]=0;
for(int i=head[u],v;i;i=e[i].nxt)
if(e[i].w && dis[v=e[i].to]>dis[u]+e[i].p)
{
dis[v]=dis[u]+e[i].p;
flow[v]=min(flow[u],e[i].w);
pre[v]=u,pre_e[v]=i;
if(!exist[v])
{
q.push(v);
exist[v]=1;
}
}
}
return dis[T]!=INF;
}
void MCMF(bool flag)
{
Init(flag);
while(SPFA())
for(int i=T,t;i!=S;i=pre[i])
{
e[t=pre_e[i]].w-=flow[T];
e[((t-1)^1)+1].w+=flow[T];
ans+=e[t].p*flow[T];
}
printf("%d\n",flag ? ans : -ans);
}
int main(int argc,char *argv[])
{
scanf("%d",&n);
T=(n<<1)+1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
scanf("%d",&c[i][j]);
MCMF(1);
MCMF(0);
return 0;
}
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