SGU 282 Isomorphism

题目链接

http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=282

思路

显然有N!$N!$个边的置换，枚举边的置换肯定不可行。
因此，我们来考虑点置换和边置换的关系。
首先，考虑一条边(x,y)$(x,y)$。

如果x$x$和y$y$在点置换中的同一循环节中，设这个循环节长度为L$L$。
若L$L$为奇数，则(x,y)$(x,y)$所处边置换中循环节长度为L$L$，一共有C2L$C_L^2$条边，所以循环节的个数为C2LL=L−12$\frac{C_L^2}{L}=\frac{L-1}{2}$个。
若L$L$为偶数，则(x,y)$(x,y)$所处边置换，出来上述长度为L$L$的情况，还有一种情况：
如果x,y$x,y$在循环节中正好相距L2$\frac{L}{2}$，那么循环节长度为L2$\frac{L}{2}$这样的循环节一共有L2$\frac{L}{2}$个，循环节的个数为C2L−L2L+1=L2$\frac{C_L^2-\frac{L}{2}}{L}+1=\frac{L}{2}$个循环节。

再来考虑x,y$x,y$不在一个循环节的情况，设循环节长度分别为L1,L2$L_1,L_2$。
显然，(x,y)$(x,y)$所在置换的循环节长度为lcm(L1,L2)$lcm(L_1,L_2)$，这样的循环节个数为L1L2lcm(L1,L2)=gcd(L1,L2)$\frac{L_1{L}_2}{lcm(L_1,L_2)}=gcd(L_1,L_2)$个。

若一个点置换的循环节长度分别为L1,L2,⋯,LK$L_1,L_2,\cdots ,L_K$，那么边置换的循环节长度为：

c=∑i=1K⌊Li2⌋+∑i=1K−1∑j=i+1Kgcd(Li,Lj)$$c=\sum _{i=1}^K\lfloor \frac{L_i}{2}\rfloor +\sum _{i=1}^{K-1}\sum _{j=i+1}^{K}gcd(L_i,L_j)$$

接下来我们求满足循环节长度为L1,L2,⋯,LK$L_1,L_2,\cdots ,L_K$的边置换个数。
这就相当于将1⋯N$1\cdots N$放入大小为L1,L2,⋯,LK$L_1,L_2,\cdots ,L_K$的环中，求总方案数。
显然，如L$L$不重复，那么总方案数为N!L1L2⋯LK$\frac{N!}{L_1{L}_2\cdots L_K}$，这里不给出证明了。
若L$L$有重复，假设L$L$中有t$t$种不同的值，第i$i$种值的个数为ki$k_i$，那么总方案数（也就是满足条件的边置换个数）为：

S=N!L1L2⋯LKk1!k2!⋯kt!$$S=\frac{N!}{L_1{L}_2\cdots L_K{k}_1!k_2!\cdots k_t!}$$

最终的答案为：

Ans=1N!∑S×mc$$Ans=\frac{1}{N!}\sum S\times m^c$$

其中S,c$S,c$如上所述。

代码

#include <cstdio>

const int maxn=53;

int fac[maxn+1],l[maxn+1],n,m,p,ans;

int gcd(int x,int y)
{
  return y?gcd(y,x%y):x;
}

inline int quickpow(int a,int b,int mo)
{
  int res=1;
  while(b)
    {
      if(b&1)
        {
          res=1ll*res*a%mo;
        }
      a=1ll*a*a%mo;
      b>>=1;
    }
  return res;
}

inline int getans(int x)
{
  int c=0,s=1,cnt=0;
  for(register int i=1; i<=x; ++i)
    {
      c+=l[i]/2;
      for(register int j=i+1; j<=x; ++j)
        {
          c+=gcd(l[i],l[j]);
        }
      s=(1ll*s*l[i])%p;
      if(l[i]!=l[i-1])
        {
          s=(1ll*s*fac[cnt])%p;
          cnt=0;
        }
      ++cnt;
    }
  s=(1ll*s*fac[cnt])%p;
  s=(1ll*fac[n]*quickpow(s,p-2,p))%p;
  ans=(1ll*ans+((1ll*s*quickpow(m,c,p))%p))%p;
  return 0;
}

int search(int now,int lo,int hi)
{
  if(!hi)
    {
      getans(now-1);
    }
  if(hi<lo)
    {
      return 0;
    }
  for(register int i=lo; i<=hi; ++i)
    {
      l[now]=i;
      search(now+1,i,hi-i);
      l[now]=0;
    }
  return 0;
}

int main()
{
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
  fac[0]=1;
  for(register int i=1; i<=n; ++i)
    {
      fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%p;
    }
  search(1,1,n);
  printf("%d\n",(int)((1ll*ans*quickpow(fac[n],p-2,p))%p));
  return 0;
}