[2018省队模拟]简单模拟

题目链接

http://begin.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5118

思路

题目条件很玄学，要找出值为bi$b_i$的元素与1$1$位置的元素交换。
为了防止到处找元素，我们把每个元素在哪个位置记下来，记录pi$p_i$为值为i$i$的元素的位置。
这样，题目就变成了：把p$p$数组中的位置bi$b_i$的元素与值为1$1$的元素交换（方便起见，把这样的交换记作swap(bi)$swap(b_i)$）。
现在，我们只要关心值为1$1$的元素的位置。

我们研究研究对p$p$数组交换的性质：

性质1$1$：swap(x)$swap(x)$后，1$1$的位置变成了x$x$。
证明：这个结论是很显然的，没有证明。

性质1.5$1.5$：经过一连串的swap(b1),swap(b2),⋯,swap(bq)$swap(b_1),swap(b_2),\cdots ,swap(b_q)$后，1$1$的位置变成了bq$b_q$。
证明：由性质1$1$得到。

性质2$2$：如果经过一轮交换，p$p$数组中i$i$位置的值到了si$s_i$上，若有s1=1$s_1=1$，那么现在再次进行同样的交换，这个值会到ssi$s_{s_i}$上。
证明：交换的是位置，因此第一次交换后可以把这个数组视为原数组。

根据推论1.5$1.5$和性质2$2$，按照b$b$数组的顺序，进行两轮交换后，可以根据性质2$2$来快速计算后面的变换情况。
具体流程：

• 按照b$b$数组的顺序进行两轮交换；
• 计算出上面性质2$2$中提到的s$s$值；
• 利用快速幂，计算出前⌊nq⌋$\lfloor \frac{n}{q}\rfloor$项的值；
• 最后暴力计算出最后nmodq$n\mathrm{mod}q$项的值。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

const int maxn=200000;

int n,q;
long long m;

struct per
{
  int a[maxn+10];

  per operator *(const per &other) const
  {
    per res;
    for(register int i=1; i<=n; ++i)
      {
        res.a[i]=other.a[a[i]];
      }
    return res;
  }
};

int a[maxn+10],b[maxn+10],p[maxn+10],opos,tmp[maxn+10];
per now,res;

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

int jump(int *ar,int t)
{
  for(register int i=1; i<=t; ++i)
    {
      std::swap(ar[opos],ar[b[(i-1)%q+1]]);
      opos=b[(i-1)%q+1];
    }
  return 0;
}

int main()
{
  n=read();
  q=read();
  scanf("%I64d",&m);
  for(register int i=1; i<=n; ++i)
    {
      a[i]=read();
    }
  for(register int i=1; i<=q; ++i)
    {
      b[i]=read();
    }
  for(register int i=1; i<=n; ++i)
    {
      p[a[i]]=i;
    }
  opos=a[1];
  if(m<=2*q)
    {
      jump(p,m);
      for(register int i=1; i<=n; ++i)
        {
          tmp[p[i]]=i;
        }
      for(register int i=1; i<n; ++i)
        {
          printf("%d ",tmp[i]);
        }
      printf("%d\n",tmp[n]);
      return 0;
    }
  jump(p,q);
  memcpy(tmp,p,sizeof p);
  jump(p,q);
  for(register int i=1; i<=n; ++i)
    {
      now.a[tmp[i]]=p[i];
    }
  for(register int i=1; i<=n; ++i)
    {
      res.a[i]=i;
    }
  long long t=m/q-2;
  while(t)
    {
      if(t&1)
        {
          res=res*now;
        }
      t>>=1;
      now=now*now;
    }
  now=res;
  for(register int i=1; i<=n; ++i)
    {
      p[i]=now.a[p[i]];
    }
  jump(p,m%q);
  for(register int i=1; i<=n; ++i)
    {
      tmp[p[i]]=i;
    }
  for(register int i=1; i<n; ++i)
    {
      printf("%d ",tmp[i]);
    }
  printf("%d\n",tmp[n]);
  return 0;
}