[Pku 2352 2155 Hdu 3584] 线段树(五) {树状数组}

{

就我学过的数据结构而言

最优美的数据结构是并查集

然后是树状数组

再次是散列表

......

}

优美的含义就是简明 精巧

当然特别强大的数据结构一般都不好写

比如Splay 线段树 平衡树之类

所以也不是很优美

线段树确实强大 但是在有些情况下

我们可以用树状数组实现线段树的一部分功能

 

通常意义上的树状数组是一个一维数组 我们一般用c[]来记录

相对的 还有一个原数组a[] 记录原有的序列 c[]是基于a[]而产生的

树状数组可以实现查询区间和和修改单值的操作

这些操作线段树也可以实现 理论复杂度同样为O(Log2N)

但是树状数组的常数和编程复杂度更低

对于可以转化为这两个操作的问题 我们优先考虑树状数组

而且树状数组还有比线段树更好的可扩展性 可以轻易地扩展到高维

只需把通常意义上的树状数组改造成N维的树状数组即可

显然N维的线段树是相当恐怖的东西 相比而言 N维的树状数组就优美了许多

 

要理解树状数组 看几张图即可

具体的算法可以到baidu去找 三个函数才几行话{Lowbit(),Getsum(),Change()}

各人的理解方式可能不同 自己理解出来的才是最好的

提示一下 树状数组的核心是二进制思想

相信大家小时候都做过这个这个问题 任何一个数可以拆成不同的2的幂的和

树状数组通俗的讲就是这个道理

由于拆出的数的个数不超过Log2N个 树状数组的复杂度就是O(Log2N)

 

树状数组的入门问题

Pku 2352 http://poj.org/problem?id=2352

算法也很简单

把所有星星都投影到x轴上

由于给的星星是有顺序的(从下到上 从左到右)

每次插入一个星星 就累加当前的统计值 最后输出即可

 

const    maxn=15000;
    maxm=32001;
var    x,y:array[1..maxn]of longint;
    c:array[1..maxm]of longint;
    h:array[0..maxn-1]of longint;
    i,n,m:longint;
function lowbit(v:longint):longint;
begin
lowbit:=v and -v;
end;
procedure insert(x:longint);
var    y:longint;
begin
y:=x;
while y<=m do
    begin
    c[y]:=c[y]+1;
    y:=y+lowbit(y);
    end;
end;
function query(x:longint):longint;
var    ans,y:longint;
begin
y:=x;
ans:=0;
while y>0 do
    begin
    ans:=ans+c[y];
    y:=y-lowbit(y);
    end;
query:=ans;
end;
begin
assign(input,'star.in'); reset(input);
assign(output,'star.out'); rewrite(output);
readln(n);
m:=0;
for i:=1 to n do
    begin
    readln(x[i],y[i]);
    if m<x[i] then m:=x[i];
    end;
m:=m+1;
for i:=1 to n do
    begin
    inc(h[query(x[i]+1)]);
           insert(x[i]+1);
    end;
for i:=0 to n-1 do
    writeln(h[i]);
close(input); close(output);
end.

 

 

树状数组很优美 但是这优美不是轻易能领略的 需要进行转化

原本树状数组支持的操作是修改一个数 查询区间和

我们有时候会碰到查询一个数 修改区间值的问题

同样可以通过转化来用树状数组解决

对于查询一个数a[i]我们转化为getsum(i) 即把a[i]转化为长为i前缀和

而修改区间我们如下图操作

修改[x,y] 我们就change(x,1) change(y+1,-1)

不难发现 对[x,y]内的数getsum就会+1 否则是不变的 这就相当于区间修改了

 

树状数组可以轻易的扩展到2维 3维

看两个这样的问题

Pku 2155 http://poj.org/problem?id=2155

Hdu 3584 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3584

分别是树状数组的二维和三维延伸

题意差不多

给定0 1阵 支持取反一个区间 查询单个值

对于取反操作 我们记录取反的次数 然后取2的模就可以反映当前的值了

这样问题就是支持区间修改和查询单值的问题

如果是一维的问题直接使用上面所说的方法就可以解决

现在是二维 三维了

二维的树状数组只是加了一维 操作只是多了一重循环

具体的操作可以baidu而知 不再赘述

我们可以如下图对c[][]进行修改 然后getsum(i,j)来求当前a[i,j]的值

三维需要画一个好一点的图 画出来了很有成就感 试一试吧

代码很好懂 具体看代码

Matrix

 

const    maxn=1000;
var    c:array[1..maxn,1..maxn]of longint;
    i,x1,y1,x2,y2,z,n,m:longint;
    ch:char;
function lowbit(x:longint):longint;
begin
lowbit:=x and -x;
end;
procedure chg(x,y,z:longint);
var    i,j:longint;
begin
i:=x;
while i<=n do
    begin
    j:=y;
    while j<=n do
        begin
        c[i][j]:=c[i][j]+z;
        j:=j+lowbit(j);
        end;
    i:=i+lowbit(i);
    end;
end;
function gs(x,y:longint):longint;
var    ans,i,j:longint;
begin
ans:=0;
i:=x;
while i>0 do
    begin
    j:=y;
    while j>0 do
        begin
        ans:=ans+c[i][j];
        j:=j-lowbit(j);
        end;
    i:=i-lowbit(i);
    end;
gs:=ans;
end;
begin
assign(input,'matrix.in'); reset(input);
assign(output,'matrix.out'); rewrite(output);
readln(z);
while z<>0 do
    begin
    dec(z);
    readln(n,m);
    for i:=1 to m do
        begin
        read(ch);
        case ch of
            'C':
                begin
                readln(x1,y1,x2,y2);
                chg(x1,y1,1);
                chg(x1,y2+1,-1);
                chg(x2+1,y1,-1);
                chg(x2+1,y2+1,1);
                end;
            'Q':
                begin
                readln(x1,y1);
                writeln(gs(x1,y1)and 1);
                end;
            end;
        end;
    writeln;
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    end;
close(input); close(output);
end.

Cube

 

 

const    maxn=100;
var    i,n,m,ch,x1,x2,y1,y2,z1,z2:longint;
    c:array[1..maxn,1..maxn,1..maxn]of longint;
function lowbit(x:longint):longint;
begin
lowbit:=x and -x;
end;
procedure chg(x,y,z,ch:longint);
var    i,j,k:longint;
begin
i:=x;
while i<=n do
    begin
    j:=y;
    while j<=n do
        begin
        k:=z;
        while k<=n do
            begin
            c[i][j][k]:=c[i][j][k]+ch;
            k:=k+lowbit(k);
            end;
        j:=j+lowbit(j);
        end;
    i:=i+lowbit(i);
    end;
end;
function gs(x,y,z:longint):longint;
var    ans,i,j,k:longint;
begin
ans:=0;
i:=x;
while i>0 do
    begin
    j:=y;
    while j>0 do
        begin
        k:=z;
        while k>0 do
            begin
            ans:=ans+c[i][j][k];
            k:=k-lowbit(k);
            end;
        j:=j-lowbit(j);
        end;
    i:=i-lowbit(i);
    end;
gs:=ans;
end;
begin
assign(input,'cube.in'); reset(input);
assign(output,'cube.out'); rewrite(output);
while not eof do
    begin
    readln(n,m);
    for i:=1 to m do
        begin
        read(ch);
        case ch of
            0:
                begin
                readln(x1,y1,z1);
                writeln(gs(x1,y1,z1)and 1);
                end;
            1:
                begin
                readln(x1,y1,z1,x2,y2,z2);
                chg(x1,y1,z1,1);
                chg(x1,y2+1,z1,-1);
                chg(x2+1,y1,z1,-1);
                chg(x2+1,y2+1,z1,1);
                chg(x1,y1,z2+1,-1);
                chg(x1,y2+1,z2+1,1);
                chg(x2+1,y1,z2+1,1);
                chg(x2+1,y2+1,z2+1,-1);
                end;
            end;
        end;
    fillchar(c,sizeof(c),0);
    end;
close(input); close(output);
end.

 

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