51nod1244 莫比乌斯函数之和

 

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：

如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

 

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。

例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1

这个问题是一个积性函数的问题，结论是这个

tls博客

后面的玩意就是我们熟识的数论分块呀，其中l到r产生的贡献是一定的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5000005;
bool is_p[N];
int pri[N],mu[N];
int tot;
unordered_map<ll,ll>M;
void init()
{
    tot=0,mu[0]=0,mu[1]=1;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(!is_p[i])pri[tot++]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=0; j<tot&&pri[j]*i<N; j++)
        {
            is_p[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1; i<N; i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
ll cal(ll a)
{
    if(a<N)return mu[a];
    if(M.count(a)) return M[a];
    ll ans=1;
    for(ll l=2,r; l<=a;l=r+1)
    {
        r=a/(a/l);
        ans-=cal(a/l)*(r-l+1);
    }
    M[a]=ans;
    return ans;
}
int main()
{
    ll a,b;
    init();
    cin>>a>>b;
    cout<<cal(b)-cal(a-1)<<endl;
    return 0;
}