一道题3

$x,y \leq 1e18$，求式子$\sum_{i=0}^{x}C_{\frac{x+y}{2}}^{i}C_{x-i}^{\frac{x+y}{2}} \ \ mod \ \ 1e5+3$。

Lucas定理的高度感性理解是把$mod \ \ p$下的每一位算组合数然后乘起来，因此可以采用一个数位DP的方式算这个式子。

然而比较头疼的是有个减号，涉及退位，因此每一位把$\leq 当前位及更低位组成的数$的值和$>他$的值分开来算，退位时用上一位的$>$计算，不退位用上一位$\leq$算。

代码很精髓。需反复分析。

//#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<vector>
//#include<queue>
//#include<time.h>
//#include<complex>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

#define LL long long
LL X,Y;
int f[10],g[10],a[10],la=0,b[10],lb=0;
const int mod=1e5+3;
int fac[mod+4],inv[mod+4];
int powmod(int a,int b) {int ans=1; while (b) {if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod; a=1ll*a*a%mod; b>>=1;} return ans;}
int C(int n,int m) {return m>n?0:fac[n]*1ll*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&X,&Y);
    if (X<Y || ((X^Y)&1)) {puts("0"); return 0;}
    fac[0]=1; for (int i=1;i<=mod;i++) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod;
    inv[mod-1]=powmod(fac[mod-1],mod-2); for (int i=mod-1;i;i--) inv[i-1]=inv[i]*1ll*i%mod;
    X^=Y^=X^=Y; X=(X+Y)>>1;
    f[0]=1;
    LL tmp=X; while (tmp) a[++la]=tmp%mod,tmp/=mod;
    tmp=Y; while (tmp) b[++lb]=tmp%mod,tmp/=mod;
    for (int i=1;i<=lb;i++)
    {
        for (int j=0;j<mod;j++) if (b[i]>=j) f[i]=(f[i]+1ll*f[i-1]*C(a[i],j)%mod*C(b[i]-j,a[i]))%mod;
        else g[i]=(g[i]+1ll*f[i-1]*C(a[i],j)%mod*C(b[i]+mod-j,a[i]))%mod;
        for (int j=0;j<mod;j++) if (b[i]>=j+1) f[i]=(f[i]+1ll*g[i-1]*C(a[i],j)%mod*C(b[i]-j-1,a[i]))%mod;
        else g[i]=(g[i]+1ll*g[i-1]*C(a[i],j)%mod*C(b[i]+mod-j-1,a[i]))%mod;
    }
    printf("%d\n",f[lb]);
    return 0;
}