UVA10529 Dumb Bones (完成度：40%）

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-10529

知识点：　　概率与期望，DP。

题目大意：

　　现要放置 \(n\) 个多米诺骨牌，且每放置一块多米诺骨牌有 \(P_l\) 的概率向左倒，其左边相邻的骨牌也会随之倒下；有 \(P_r\) 的概率向右倒，其右边相邻的骨牌同上。问要放置 \(n\) 块相连的一排骨牌所需要的放置次数的最小期望是多少？

　　\(1 \le n \le 100\)

　　\(0 < P_l + P_r \le 0.5\)

解题思路：

　　我们用动态规划的方法来解决这个问题。

　　设 \(dp(i)\) 为放置 \(i\) 块相连的一排骨牌所需要的放置次数的最小期望，我们先给出状态转移方程：

　　\(dp(i) = min\{ dp(i), \frac{dp(l) \cdot P_l + dp(r) \cdot P_r + 1}{1-P_l-P_r} + dp(l) + dp(r) \mid 0 \le l \le i, r = i-1-l \}\)　　

　　上式中，我用 \(l\) 表示放置第 \(i\) 块骨牌（即最后一块）的时候左边的相连的骨牌数，\(r\) 则表示右边的。我们可以用 \((l,r)\) 来表示我们放置最后一块骨牌的位置，则当我们在 \((l,r)\) 放置最后一块骨牌时，放置这 \(i\) 块连续的骨牌所需要的次数的期望为 \(E = E(i) + dp(l) +dp(r)\)，我们事先已经知道了 \(dp(k) \{0 \le k < i\}\)，故重点就在于求解 \(E(i)\) ，即放置第 i 块所需的放置次数的期望。首先，我们需要知道：每放置一块多米诺骨牌有 \(1 - P_l - P_r\) 的概率不会倒。接下来，我们分成如下三种情况来讨论：

　　1、放置一次即成功，有 \(1 - P_l - P_r\) 的概率。则放置次数的期望为：\(\frac{1}{1 - P_l - P_r}\) ;

　　2、放置以后向左倒，有 \(P_l\) 的概率。我们需要先将左边的骨牌放置好，我们需要放置成功 \(dp(l)\) 次，每一次的成功概率都为 \(1 - P_l - P_r\)，则需要的次数的期望为 \(\frac{dp(l)}{1-P_l-P_r}\)，当然，我们也不能忘了乘上 \(P_l\)，则最终的期望值为：\(\frac{P_l \cdot dp(l)}{1-P_l-P_r}\)；

　　3、放置以后向右倒同理。

　　于是，我们不难推出：

　　\(E = \frac{dp(l) \cdot P_l + dp(r) \cdot P_r +1}{1 - P_l - P_r} + dp(l) + dp(r)\)  .

　　一切也就顺理成章了。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int maxn=1010;
const double inf=0x7fffffff;
double dp[maxn];
int main()
{
    int n;
    double pl,pr;
    while(scanf("%d",&n)==1&&n){
        scanf("%lf%lf",&pl,&pr);
        for(int i=1;i<=n;i++)   dp[i]=inf;
        dp[0]=0;
        int l,r;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(l=0;l<i;l++){
                r=i-1-l;
                dp[i]=min(dp[i],(dp[l]*pl+dp[r]*pr+1)/(1-pl-pr)+dp[l]+dp[r]);
            }
        }
        printf("%.2lf\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

 

　　PS: 此题还有一种 \(O(nlog n)\) 和一种 \(O(n)\) 的算法，未完待续。