斜率优化dp*

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以下面的一道例题为例。

A.HDU 3507

给出 \(N\) 个单词，每个单词有个非负权值 \(C_i\) ，现要将它们分成连续的若干段，每段的代价为此段单词的权值和，还要加一个常数 \(M\) ，即 \((\sum Ci)^2+M\) 。现在想求出一种最优方案，使得总费用之和最小。 \((0 ≤ n ≤ 500000, 0 ≤ M ≤ 1000)\)

解

首先考虑 \(n^2\) dp。

\[sum[i]=\sum_{j=1}^i C_j \]

\[dp[i]=\min(dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M) \]

考虑如何优化。
设 \(j_1>j_2\) ，且 \(j_1\) 优于 \(j_2\) 。
有

\[dp[j_1]+sum[i]^2+sum[j_1]^2-2*sum[i]*sum[j_1]+M<dp[j_2]+sum[i]^2+sum[j_2]^2-2*sum[i]*sum[j_2]+M$$\ $$dp[j_1]+sum[j_1]^2-dp[j_2]-sum[j_2]^2<2*sum[i]*(sum[j_1]-sum[j_2])\]

\[2*sum[i]>\frac{dp[j_1]+sum[j_1]^2-dp[j_2]-sum[j_2]^2}{sum[j_1]-sum[j_2]} \]