Bézout恒等式

写在前面:

  记录了个人的学习过程,同时方便复习

  整理自网络

  非原创部分会标明出处

 

目录

  1. n个整数间

  2. 拓展欧几里得算法

  3. 拓展欧几里得算法的多解

 

 

结论

(Bézout / 裴蜀 / 贝祖 / 比舒)

In elementary number theory, Bézout's identity (also called Bézout's lemma) is the following theorem:

Bézout's identity —

  Let a and b be integers with greatest common divisor d

  Then, there exist integers x and y such that ax + by = d

  More generally, the integers of the form ax + by are exactly the multiples of d

——wikipedia

译:

  在初等数论中,Bézout恒等式(也称为Bézout引理)是下列引理:

    Bézout恒等式:

    设a和b为具有最大公因数d的整数

    存在整数x和y,使得ax+by=d

    即ax+by恰好是d的倍数

  wikipedia上说的很清楚,就不再重复说了

 

 

证明

  (某一种证法)

  

  有a,b∈Z*

  记d == gcd(a,b),对ax + by == d,两边同时除以d,可得(a1)x + (b1)y == 1,其中gcd(a1,b1) == 1
  转证(a1)x + (b1)y == 1,由带余除法:
  ① (a1) == (q1)(b1) + (r1),其中0 < r1 < b1
  ② (b1) == (q2)(r1) + (r2),其中0 < r2 < r1
  ③ (r1) == (q3)(r2) + (r3),其中0 < r3 < r2
  .....
  ④ (rn-4) == (qn-2)(rn-3) + (rn-2)
  ⑤ (rn-3) == (qn-1)(rn-2) + (rn-1)
  ⑥ (rn-2) == (qn)(rn-1) + (rn)
  ⑦ (rn-1) == (qn+1)(rn) + 1
  故,由⑦和⑥推出(rn-2)An-2 + (rn-1)Bn-1 == 1
  再结合⑤推出(rn-3)An-3 + (rn-2)Bn-2 == 1
  再结合④推出(rn-4)An-4 + (rn-3)Bn-3 == 1
  .....
  再结合③推出(r1)A1 + (r2)B2 == 1
  再结合②推出(b1)A0 + (r1)B0 == 1
  再结合①推出(a1)x + (b1)y == 1
  证毕

——bia度百科

拓展

  • n个整数间

  设有a1,a2,a3......an为n个整数,d是它们的最大公约数,那么存在整数x1......xn使得x1*a1 + x2*a2 + ... + xn*an == d

——bia度百科

 

posted @ 2018-12-15 20:48  Antigonae  阅读(974)  评论(0编辑  收藏  举报