拓展欧几里得算法的多解
写在前面：
这篇博客是我在[◹]对 算术基本定理 的研究 中的一部分
by pixelkitties
- 拓展欧几里得算法的多解
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拓展欧几里德算法是用来在已知a，b的情况下求解一组p，q，使它们满足[◹]Bézout恒等式： pa+qb = gcd(a, b) ==d ——bia度百科 |
求解得到的是一组p，q，是任意的一组p，q吗？
p，q肯定不止一对，那么如何获得多对p，q呢？
是否为随意的一组解先存疑
但能肯定的是，得到的不一定是最小整数解
如wikipedia上的例子：
想要求得多解也很容易：
设gcd(a，b) == d
∵p*a + q*b == d
∴p*a + q*b + n*a*(b/d) - n*(a/d)*b == d
∴(p + n*(b/d) )*a + (q - n*(a/d) )*b == d
注意，n不为0时，上下红色部分不相等
注意，此处除去gcd(a，b)是为了得到所有解
即任意一组解满足：
(p+n*(b/d) )，(q-n*(a/d) )
(d == gcd(a，b) )
显然，对于任意的n∈Z都成立
利用这个性质就能求出所有解了！
此处p，q为利用拓展欧几里得算法得到的一组p，q
那么如何求得p或q的最小整数解呢？
其实同理：
p*a + q*b == gcd(a, b)
(p' + n*b)*a + (q' - n*a)*b == gcd(a, b)
则p%b，q%a就好了
注意，n不为0时，上下红色部分不相等
还有以下情况：
希望在MOD gcd(a，b)的意义下，希望得到最小的一组非负整数解
即求得最小的p，q∈Z*，使得p*a + q*b ≡ 0 (MOD gcd(a，b) )
但是p或q有可能为负数啊？
((p%b)+b)%b，((q%a)+a)%a
这样就能保证是正整数了！
