《算法导论》读书笔记之第10章 基本数据结构之二叉树

摘要

　　书中第10章10.4小节介绍了有根树，简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构，而没有关于二叉树的遍历过程。为此对二叉树做个简单的总结，介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程，主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。

1、二叉树的定义

　　二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

　　由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。二叉树形状如下下图所示：

2、二叉树的性质

（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。备注:^表示此方

（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>=1)。

（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。

满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。

完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。

可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。

举例如下图是所示：

（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log_2ⁿ + 1。

3、二叉树的存储结构

　　可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。二叉树的二叉链表存储结构如下所示：

typedef struct binary_tree_node
{
    int elem;
    struct binary_tree_node *left;
    struct binary_tree_node *right;
}binary_tree_node,*binary_tree;

举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：

从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。

4、遍历二叉树

　　遍历二叉树是按照指定的路径方式访问书中每个结点一次，且仅访问一次。由二叉树的定义，我们知道二叉数是由根结点、左子树和右子树三部分构成的。通常遍历二叉树是从左向右进行，因此可以得到如下最基本的三种遍历方法：

（1）先根遍历（先序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先访问根节点，然后先根遍历左子树，最后先根遍历右子树。采用递归形式实现代码如下：

void preorder_traverse_recursive(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        printf("%d\t",root->elem);
        preorder_traverse_recursive(root->left);
        preorder_traverse_recursive(root->right);
    }
}

具体过程如下图所示：

（2）中根遍历（中序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先中根遍历左子树，然后访问根结点，最后中根遍历右子树。递归过程实现代码如下：

void inorder_traverse_recursive(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        inorder_traverse_recursive(root->left);
        printf("%d\t",root->elem);
        inorder_traverse_recursive(root->right);
    }
}

具体过程如下图所示：

（3）后根遍历（后序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先后根遍历左子树，然后后根遍历右子树，最后访问根结点。递归实现代码如下：

void postorder_traverse_recursive(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        postorder_traverse_recursive(root->left);
        postorder_traverse_recursive(root->right);
        printf("%d\t",root->elem);
    }
}

具体过程如下图所示：

　　写一个完整的程序练习二叉树的三种遍历，采用递归形式创建二叉树，然后以递归的形式遍历二叉树，后面会接着讨论如何使用非递归形式实现这三种遍历，程序采用C语言实现，完整程序如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//the structure of binary tree
typedef struct binary_tree_node
{
    int elem;
    struct binary_tree_node *left;
    struct binary_tree_node *right;
}binary_tree_node,*binary_tree;

void init_binary_tree(binary_tree *root);
void create_binary_tree(binary_tree *root);

//previous root
void preorder_traverse_recursive(binary_tree root);
//inorder root
void inorder_traverse_recursive(binary_tree root);
//post order root
void postorder_traverse_recursive(binary_tree root);

int main()
{
    binary_tree root;
   init_binary_tree(&root);
    create_binary_tree(&root);
    preorder_traverse_recursive(root);
    inorder_traverse_recursive(root);
    postorder_traverse_recursive(root);
    exit(0);
}

void init_binary_tree(binary_tree *root)
{
    *root = NULL;
}

void create_binary_tree(binary_tree* root)
{
    int elem;
    printf("Enter the node value(0 is end): ");
    scanf("%d",&elem);
    if(elem == 0)
        *root = NULL;
    else
    {
        *root = (binary_tree)malloc(sizeof(binary_tree_node));
        if(NULL == root)
        {
             printf("malloc error.\n");
             exit(-1);
        }
        (*root)->elem = elem;
        printf("Creating the left child node.\n");
        create_binary_tree(&((*root)->left));
        printf("Createing the right child node.\n");
        create_binary_tree(&((*root)->right));
    }
}

void preorder_traverse_recursive(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        printf("%d\t",root->elem);
        preorder_traverse_recursive(root->left);
        preorder_traverse_recursive(root->right);
    }
}

void inorder_traverse_recursive(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        inorder_traverse_recursive(root->left);
        printf("%d\t",root->elem);
        inorder_traverse_recursive(root->right);
    }
}

void postorder_traverse_recursive(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        postorder_traverse_recursive(root->left);
        postorder_traverse_recursive(root->right);
        printf("%d\t",root->elem);
    }
}

程序测试结果如下：

　　现在来讨论一下如何采用非递归实现这以上三种遍历。将递归形式转换为非递归形式，引入了额外的辅助结构栈。另外在讨论一次二叉树的层次遍历，可以借助队列进行实现。具体讨论如下：

（1）先根遍历非递归实现

　　先根遍历要求顺序是根左右，可以借助栈s来实现。先将根root入栈，然后循环判断s是否为空，非空则将结点出栈，记为节点p，然后依次先将结点p的右子树结点入栈，然后将结点p的左子树结点入栈，循环操作直到栈中所有元素都出栈为止，出栈顺序即是先根遍历的结果。采用C++中模板库stack实现先根遍历如下：

void preorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        s.push(root);
        while(!s.empty())
        {
            ptmpnode = s.top();
            cout<<ptmpnode->elem<<" ";
            s.pop();
            if(NULL != ptmpnode->right)
                s.push(ptmpnode->right);
            if(NULL != ptmpnode->left)
                s.push(ptmpnode->left);

        }
    }
}

（2）中根遍历非递归实现

　　中根遍历要求顺序是左根右，借助栈s实现。先将根root入栈，接着从根root开始查找最左的子孩子结点直到为空为止，然后将空节点出栈，再将左子树节点出栈遍历，然后判断该左子树的右子树节点入栈。循环此过程，直到栈为空为止。此时需要注意的是入栈过程中空结点也入栈了，用以判断左孩子是否结束和左孩子是否有右孩子结点。采用C++中模板库stack实现先根遍历如下：

void inorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        s.push(root);
        while(!s.empty())
        {
            ptmpnode = s.top();
            while(NULL != ptmpnode)
            {
                s.push(ptmpnode->left);
                ptmpnode = s.top();
            }
            s.pop();//空结点出栈
            if(!s.empty())
            {
                ptmpnode = s.top();
                cout<<ptmpnode->elem<<" ";
                s.pop();
                //右子树结点如栈
                s.push(ptmpnode->right);
            }
        }
    }
}

另外一种简洁的实现方法如下：

void inorder_traverse_two(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        ptmpnode = root;
        while(NULL != ptmpnode || !s.empty())
        {
            //将左子树结点入栈
            if(NULL != ptmpnode)
            {
                s.push(ptmpnode);
                ptmpnode = ptmpnode->left;
            }
            else
            {
                //出栈遍历
                ptmpnode = s.top();
                s.pop();
                cout<<ptmpnode->elem<<" ";
                //右子树结点
                ptmpnode = ptmpnode->right;
            }
        }
    }
}

（3）后根遍历递归实现

　　后根遍历要求访问顺序是左右根，采用辅助栈实现时，需要一个标记，判断结点是否访问了，因为右子树是通过跟结点的信息得到的。实现过程是先将根结点及其左子树入栈，并初始标记为0，表示没有访问，然后通过判断栈是否为空和标记的值是否为1来判断是否访问元素。

参考：http://www.cnblogs.com/hicjiajia/archive/2010/08/27/1810055.html

采用C++模板库stack具体实现程序如下：

void postorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        int flags[100];
        ptmpnode = root;
        while(NULL != ptmpnode || !s.empty())
        {
            //将结点左子树结点入栈
            while(NULL != ptmpnode)
            {
                s.push(ptmpnode);
                flags[s.size()] = 0;   //标记未访问
                ptmpnode=ptmpnode->left;
            }
            //输出访问的结点
            while(!s.empty() && flags[s.size()] == 1)
            {
                ptmpnode = s.top();
                s.pop();
                cout<<ptmpnode->elem<<" ";
            }
            //从右子树开始遍历
            if(!s.empty())
            {
                ptmpnode = s.top();
                flags[s.size()] = 1;  //登记访问了
                ptmpnode = ptmpnode->right;
            }
            else
                break;
        }
    }
}

（4）层次遍历实现

　　层次遍历要求从根向下、从左向右进行访问，可以采用队列实现。先将根入队，然后队列进程出队操作访问结点p，再将结点p的左子树和右子树结点入队，循环执行此过程直到队列为空。出队顺序即是层次遍历结果。采用C++的模板库queue实现如下：

void levelorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        queue<binary_tree_node*> q;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        q.push(root);
        while(!q.empty())
        {
            ptmpnode = q.front();
            q.pop();
            cout<<ptmpnode->elem<<" ";
            if(NULL != ptmpnode->left)
                q.push(ptmpnode->left);
            if(NULL != ptmpnode->right)
                q.push(ptmpnode->right);
        }
    }
}

 综合上面的分析过程写个完整的程序测试二叉树遍历的非递归实现，采用C++语言，借助stack和queue实现，完整程序如下所示：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cstdlib>
using namespace std;

typedef struct binary_tree_node
{
    int elem;
    struct binary_tree_node *left;
    struct binary_tree_node *right;
}binary_tree_node,*binary_tree;

void init_binary_tree(binary_tree *root);
void create_binary_tree(binary_tree *root);
void preorder_traverse(binary_tree root);
void inorder_traverse(binary_tree root);
void inorder_traverse_two(binary_tree root);
void postorder_traverse(binary_tree root);
void levelorder_traverse(binary_tree root);

int main()
{
    binary_tree root;
    create_binary_tree(&root);
    cout<<"preodrer traverse: ";
    preorder_traverse(root);
    cout<<"\ninodrer traverse: ";
    inorder_traverse_two(root);
    cout<<"\npostodrer traverse: ";
    postorder_traverse(root);
    cout<<"\nleverorder traverse: ";
    levelorder_traverse(root);
    exit(0);
}

void init_binary_tree(binary_tree *root)
{
    *root = NULL;
}

void create_binary_tree(binary_tree* root)
{
    int elem;
    cout<<"Enter the node value(0 is end): ";
    cin>>elem;
    if(elem == 0)
        *root = NULL;
    else
    {
        *root = (binary_tree)malloc(sizeof(binary_tree_node));
        if(NULL == root)
        {
             cout<<"malloc error.\n";
             exit(-1);
        }
        (*root)->elem = elem;
        cout<<"Creating the left child node.\n";
        create_binary_tree(&((*root)->left));
        cout<<"Createing the right child node.\n";
        create_binary_tree(&((*root)->right));
    }
}

void preorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        s.push(root);
        while(!s.empty())
        {
            ptmpnode = s.top();
            cout<<ptmpnode->elem<<" ";
            s.pop();
            if(NULL != ptmpnode->right)
                s.push(ptmpnode->right);
            if(NULL != ptmpnode->left)
                s.push(ptmpnode->left);

        }
    }
}
void inorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        s.push(root);
        while(!s.empty())
        {
            ptmpnode = s.top();
            while(NULL != ptmpnode)
            {
                s.push(ptmpnode->left);
                ptmpnode = s.top();
            }
            s.pop();
            if(!s.empty())
            {
                ptmpnode = s.top();
                cout<<ptmpnode->elem<<" ";
                s.pop();
                s.push(ptmpnode->right);
            }
        }
    }
}

void inorder_traverse_two(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        ptmpnode = root;
        while(NULL != ptmpnode || !s.empty())
        {
            //将左子树结点入栈
            if(NULL != ptmpnode)
            {
                s.push(ptmpnode);
                ptmpnode = ptmpnode->left;
            }
            else
            {
                //出栈遍历
                ptmpnode = s.top();
                s.pop();
                cout<<ptmpnode->elem<<" ";
                //右子树结点
                ptmpnode = ptmpnode->right;
            }
        }
    }
}

void postorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        stack<binary_tree_node*> s;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        int flags[100];
        ptmpnode = root;
        while(NULL != ptmpnode || !s.empty())
        {
            //将结点左子树结点入栈
            while(NULL != ptmpnode)
            {
                s.push(ptmpnode);
                flags[s.size()] = 0;   //标记未访问
                ptmpnode=ptmpnode->left;
            }
            //输出访问的结点
            while(!s.empty() && flags[s.size()] == 1)
            {
                ptmpnode = s.top();
                s.pop();
                cout<<ptmpnode->elem<<" ";
            }
            //从右子树开始遍历
            if(!s.empty())
            {
                ptmpnode = s.top();
                flags[s.size()] = 1;  //登记访问了
                ptmpnode = ptmpnode->right;
            }
            else
                break;
        }
    }
}
void levelorder_traverse(binary_tree root)
{
    if(NULL != root)
    {
        queue<binary_tree_node*> q;
        binary_tree_node *ptmpnode;
        q.push(root);
        while(!q.empty())
        {
            ptmpnode = q.front();
            q.pop();
            cout<<ptmpnode->elem<<" ";
            if(NULL != ptmpnode->left)
                q.push(ptmpnode->left);
            if(NULL != ptmpnode->right)
                q.push(ptmpnode->right);
        }
    }
}

程序测试结果如下：