《算法导论》读书笔记之第10章 基本数据结构

摘要

　　本章介绍了几种基本的数据结构，包括栈、队列、链表以及有根树，讨论了使用指针的简单数据结构来表示动态集合。本章的内容对于学过数据结构的人来说，没有什么难处，简单的总结一下。

1、栈和队列

　　栈和队列都是动态集合，元素的出入是规定好的。栈规定元素是先进后出（FILO），队列规定元素是先进先出（FIFO）。栈和队列的实现可以采用数组和链表进行实现。在标准模块库STL中有具体的应用，可以参考http://www.cplusplus.com/reference/。

　　栈的基本操作包括入栈push和出栈pop，栈有一个栈顶指针top，指向最新如栈的元素，入栈和出栈操作操作都是从栈顶端进行的。

　　队列的基本操作包括入队enqueue和出队dequeue，队列有队头head和队尾tail指针。元素总是从队头出，从队尾入。采用数组实现队列时候，为了合理利用空间，可以采用循环实现队列空间的有效利用。

　　关于栈和队列的基本操作如下图所示：

采用数组简单实现一下栈和队列，实现队列时候，长度为n的数组最多可以含有n-1个元素，循环利用，这样方便判断队列是空还是满。程序如下所示：

//stack.c

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct stack
{
    int *s;
    int stacksize;
    int top;
}stack;

void init_stack(stack*s)
{
    s->stacksize = 100;
    s->s =(int*)malloc(sizeof(int)*s->stacksize);
    s->top = -1;
}
int stack_empty(stack s)
{
    return ((0 == s.stacksize) ? 1 : 0);
}

void push(stack *s,int x)
{
    if(s->top == s->stacksize)
        printf("up to overflow.\n");
    else
    {
        s->top++;
        s->s[s->top] = x;
        s->stacksize++;
    }
}
void pop(stack *s)
{
    if(0 == s->stacksize)
        printf("down to overflow.\n");
    else
    {
        s->top--;
        s->stacksize--;
    }
}
int top(stack s)
{
    return s.s[s.top];
}

int main()
{
    stack s;
    init_stack(&s);
    push(&s,19);
    push(&s,23);
    push(&s,34);
    push(&s,76);
    push(&s,65);
    printf("top is:%d\n",top(s));
    pop(&s);
    printf("top is:%d\n",top(s));
}

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct queue
{
    int *q;
    int queuesize;
    int head;
    int tail;
}queue;

void enqueue(queue* q,int x)
{
    if(((q->tail+1) % q->queuesize) == q->head)
    {
        printf("queue is full.\n");
    }
    else
    {
        q->q[q->tail] = x;
        q->tail = (q->tail+1) % q->queuesize;
    }
}

int dequeue(queue* q,int *value)
{
    if(q->tail == q->head)
        return -1;
    else
    {
        *value = q->q[q->head];
        q->head = ((q->head++) % q->queuesize);
    }
}
int main()
{

    int value;
    queue q;
    q.queuesize=10;
    q.q = (int*)malloc(sizeof(int)*q.queuesize);
    q.head=0;
    q.tail=0;
    enqueue(&q,10);
    enqueue(&q,30);
    printf("head=%d\t tail=%d\n",q.head,q.tail);
    if(dequeue(&q,&value) == -1)
        printf("queue is empty.\n");
    else
        printf("value=%d\n",value);
    if(dequeue(&q,&value) == -1)
        printf("queue is empty.\n");
    else
        printf("value=%d\n",value);
    if(dequeue(&q,&value) == -1)
        printf("queue is empty.\n");
    else
        printf("value=%d\n",value);
    printf("head=%d\t tail=%d\n",q.head,q.tail);
    enqueue(&q,10);
    exit(0);
}

测试结果如下所示：

问题：

（1）说明如何用两个栈实现一个队列，并分析有关队列操作的运行时间。

解答：栈中的元素是先进后出，而队列中的元素是先进先出。现有栈s1和s2，s1中存放队列中的结果，s2辅助转换s1为队列。入队列操操作：当一个元素入队列时，先判断s1是否为空，如果为空则新元素直接入s1，如果非空则将s1中所有元素出栈并存放到s2中，然后在将元素入s1中，最后将s2中所有元素出栈并入s1中。此时s1中存放的即是队列入队的顺序。出队操作：如果s1为空，则说明队列为空，非空则s1出栈即可。入队过程需要在s1和s2来回交换，运行时间为O(n)，出队操作直接是s1出栈运行时间为O(1)。举例说明转换过程，如下图示：

我采用C++语言实现整程序如下：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <cstdlib>
using namespace std;

template <class T>
class MyQueue
{
public:
    MyQueue();
    ~MyQueue();
    void enqueue(const T& data);
    int queue_empty() const;
    T dequeue();
private:
    stack<T>s1;
    stack<T>s2;
};

template<class T>
MyQueue<T>::MyQueue()
{

}
template<class T>
MyQueue<T>::~MyQueue()
{

}
template<class T>
void MyQueue<T>::enqueue(const T& data)
{
    if(s1.empty())
        s1.push(data);
    else
    {
        while(!s1.empty(d))
        {
            s2.push(s1.top());
            s1.pop();
        }
        s1.push(data);
    }
    while(!s2.empty())
    {
        s1.push(s2.top());
        s2.pop();
    }
}
template<class T>
int  MyQueue<T>::queue_empty() const
{
    return (s1.empty());
}
template<class T>
T MyQueue<T>::dequeue()
{
    T ret;
    if(!s1.empty())
    {
        ret = s1.top();
        s1.pop();
    }
     return ret;

}

int main()
{
    MyQueue<int> myqueue;
    myqueue.enqueue(10);
    myqueue.enqueue(20);
    myqueue.enqueue(30);
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    myqueue.enqueue(40);
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    myqueue.enqueue(50);
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    exit(0);
}

（2）说明如何用两个队列实现一个栈，并分析有关栈操作的运行时间。

解答：类似上面的题目，队列是先进先出，而栈是先进后出。现有队列q1和q2，q1中存放的是栈的结果，q2辅助q1转换为栈。入栈操作：当一个元素如栈时，先判断q1是否为空，如果为空则该元素之间入队列q1，如果非空则将q1中的所有元素出队并入到q2中，然后将该元素入q1中，最后将q2中所有元素出队并入q1中。此时q1中存放的就是栈的如栈顺序。出栈操作：如果q1为空，则栈为空，否则直接q1出队操作。入栈操作需要在队列q1和q2直接来来回交换，运行时间为O(n)，出栈操作是队列q1出队操作，运行时间为O(1)。我用C++语言实现完整程序如下：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <cstdlib>
using namespace std;

template <class T>
class MyQueue
{
public:
    MyQueue();
    ~MyQueue();
    void enqueue(const T& data);
    int queue_empty() const;
    T dequeue();
private:
    stack<T>s1;
    stack<T>s2;
};

template<class T>
MyQueue<T>::MyQueue()
{

}
template<class T>
MyQueue<T>::~MyQueue()
{

}
template<class T>
void MyQueue<T>::enqueue(const T& data)
{
    if(s1.empty())
        s1.push(data);
    else
    {
        while(!s1.empty(d))
        {
            s2.push(s1.top());
            s1.pop();
        }
        s1.push(data);
    }
    while(!s2.empty())
    {
        s1.push(s2.top());
        s2.pop();
    }
}
template<class T>
int  MyQueue<T>::queue_empty() const
{
    return (s1.empty());
}
template<class T>
T MyQueue<T>::dequeue()
{
    T ret;
    if(!s1.empty())
    {
        ret = s1.top();
        s1.pop();
    }
     return ret;

}

int main()
{
    MyQueue<int> myqueue;
    myqueue.enqueue(10);
    myqueue.enqueue(20);
    myqueue.enqueue(30);
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    myqueue.enqueue(40);
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    myqueue.enqueue(50);
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    cout<< myqueue.dequeue()<<endl;
    exit(0);
}

 2、链表

　　链表与数组的区别是链表中的元素顺序是有各对象中的指针决定的，相邻元素之间在物理内存上不一定相邻。采用链表可以灵活地表示动态集合。链表有单链表和双链表及循环链表。书中着重介绍了双链表的概念及操作，双链表L的每一个元素是一个对象，每个对象包含一个关键字和两个指针：next和prev。链表的操作包括插入一个节点、删除一个节点和查找一个节点，重点来说一下双向链表的插入和删除节点操作，图例如下：

链表是最基本的数据结构，凡是学计算机的必须的掌握的，在面试的时候经常被问到，关于链表的实现，百度一下就知道了。在此可以讨论一下与链表相关的练习题。

（1）在单链表上插入一个元素，要求时间复杂度为O(1)。

解答：一般情况在链表中插入一元素是在末尾插入的，这样需要从头遍历一次链表，找到末尾，时间为O(n)。要在O(1)时间插入一个新节点，可以考虑每次在头节点后面插入，即每次插入的节点成为链表的第一个节点。

（2）在单链表上删除一个给定的节点p，要求时间复杂度为O(1)。

解答：一般情况删除一个节点时候，我们需要找到该节点p的前驱节点q，需要对链表进行遍历，运行时间为O(n-1)。我们可以考虑先将q的后继节点s的值替换q节点值，然后删除s即可。如下图删除节点q的操作过程：

（3）单链表逆置，不允许额外分配存储空间，不允许递归，可以使用临时变量，执行时间为O(n)。

解答：这个题目在面试笔试中经常碰到，基本思想上将指针逆置。如下图所示：

（4）遍历单链表一次，找出链表中间节点。

解答：定义两个指针p和q，初始都指向链表头节点。然后开始向后遍历，p每次移动2步，q移动一步，当p到达末尾的时候，p正好到达了中间位置。

（5）用一个单链表L实现一个栈，要求push和pop的操作时间为O(1)。

解答：根据栈中元素先进后出的特点，可以在链表的头部进行插入和删除操作。

（6）用一个单链表L实现一个队列，要求enqueue和dequeue的操作时间为O(1)。

解答：队列中的元素是先进先出，在单链表结构中增加一个尾指针，数据从尾部插入，从头部删除。

3、有根树的表示

　　采用链表数据结构来表示树，书中先降二叉树的链表表示法，然后拓展到分支数无限制的有根数。先来看看二叉树的链表表示方法，用域p、left和right来存储指向二叉树T中的父亲、左孩子和右孩子的指针。如下图所示：

　　对于分支数目无限制的有根树，采用左孩子、右兄弟的表示方法。这样表示的树的每个节点都包含有一个父亲指针p，另外两个指针：

（1）left_child指向节点的最左孩子。

（2）right_sibling指向节点紧右边的兄弟。