浅谈压缩感知（十二）：压缩感知与奈奎斯特采样定理

奈奎斯特采样定理：

定理：为了不失真地恢复模拟信号，离散信号系统的采样频率不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

在时域上，频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1+Δt),f(t1+2Δt)…来表示，只要这些采样点的时间间隔Δt <= 1/2F，便可根据各采样值完全恢复原始信号。

在频域上，当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fmax时，f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fmax的采样值来确定，即采样点的重复频率为fs >= 2fmax。

采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相位模糊而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的连续时间信号。

压缩感知：

压缩感知：作为一个新的采样理论，通过利用信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美重建信号。

提出背景：众所周知，在奈奎斯特采样定理为基础的传统数字信号处理框架下，若要从采样得到的离散信号中无失真地恢复模拟信号，采样速率必须至少是信号带宽的两倍。然而，随着当前信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求。最近由D Donoho、E Candbs及华裔科学家T Tao等人提出的压缩感知(Compressive Sensing，CS)理论指出了一条模拟信号"经济地"转化为数字形式的压缩信号的有效途径：利用变换空间描述信号，通过直接采样得到少数有用的线性观测数据（包含信号全局信息的压缩数据），然后解一个优化问题就可以从观测数据中恢复原始信号。

压缩感知与奈奎斯特采样定理：

从采样的角度来看，压缩感知和基于奈奎斯特采样定理的传统信号采集是两种不同形式的信号采集方式。（压缩感知打破了传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制）

采样率：在压缩感知理论下，信号的采样率不再取决于信号的带宽，而是取决于信息在信号中的结构与内容（稀疏性）。关于采样率的计算方式，压缩感知是从少量离散测量数据恢复离散数字信号，其计算方式为采样率=测量值的大小/恢复信号的大小；而传统信号采集是从离散采样数据中恢复模拟信号（时序信号），采样率指的是一个采集频率，在我看来，这两者定义的采样率不具有可比性。（但从绝对值来看，压缩感知的采集数据量应该是小于或远小于传统采集）

信号采集方式：传统采样理论是通过均匀采样（极少情况下也采用非均匀采样）获取数据；压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积来获得观测数据（AX=b）；

恢复信号形式：传统采样定理关注的对象是无限长的连续信号；压缩感知是有限维观测向量空间的向量（离散信号）；

恢复信号方式：传统采样恢复是在Nyquist采样定理的基础上，通过采样数据的sinc函数线性内插获得（在不均匀采样下则是非线性的插值恢复），而压缩感知采用的是利用信号的稀疏性，从线性观测数据中通过求解一个非线性的优化问题来恢复信号的方法。

压缩感知的核心思想：压缩和采样合并进行，并且测量值远小于传统采样方法的数据量，突破香农采样定理的瓶颈，使高分辨率的信号采集成为可能。