[题解] PowerOJ 1738 最小路径覆盖问题 (最大流)
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https://www.oj.swust.edu.cn/problem/show/1738
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Description
给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个 顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶 点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少 的路径覆盖。 设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。 提示：设V={1，2，... ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：
每条边的容量均为1。求网络G1的（ x0 , y0 ）最大流。 编程任务： 对于给定的有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。
Input
由文件input.txt提供输入数据。文件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图 G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。
Output
程序运行结束时，将最小路径覆盖输出到文件output.txt 中。从第1 行开始，每行输出 一条路径。文件的最后一行是最少路径数。
11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11
1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3
Source
- 思路 -
将一个点视为两个, 一个作为起点, 已给作为终点, n 个起点放在集合 X 中, n 个终点放在集合 Y 中, 从而把有向边转为集合 X 中的点到集合 Y 的点的有向边, 这样就得到了二分图匹配的模型.
二分图匹配的模型转费用流上篇已经讲了就不再赘述.
二分图中有一条匹配边则说明有一个点计入一条边中, 所以ans = 点数 - 匹配边数.
细节见代码.
- 代码 -
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 400;
const int M = 2e4 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int NXT[M], FRM[M], TO[M];
int V[M], CUR[N], HD[N];
int DIS[N], GO[N];
int n, m, ss, tt, sz, cnt;
queue<int> q;
void add(int x, int y, int z) {
FRM[sz] = x; TO[sz] = y; V[sz] = z;
NXT[sz] = HD[x]; HD[x] = sz++;
FRM[sz] = y; TO[sz] = x; V[sz] = 0;
NXT[sz] = HD[y]; HD[y] = sz++;
}
bool bfs() {
memset(DIS, -1, sizeof (DIS));
DIS[ss] = 0;
q.push(ss);
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = HD[u]; i != -1; i = NXT[i]) {
int v = TO[i];
if (DIS[v] < 0 && V[i]) {
DIS[v] = DIS[u] + 1;
q.push(v);
}
}
}
return DIS[tt] > 0;
}
int dfs(int x, int a) {
if (x == tt) return a;
int flow = 0, f;
for (int& i = CUR[x]; i != -1; i = NXT[i]) {
if (V[i] && DIS[TO[i]] == DIS[x] + 1)
if (f = dfs(TO[i], min(a, V[i]))) {
V[i] -= f;
V[i^1] += f;
flow += f;
a -= f;
if (a == 0) break;
}
}
return flow;
}
int dinic() {
int flow = 0;
while (bfs()) {
memcpy(CUR, HD, sizeof (HD));
flow += dfs(ss, inf);
}
return flow;
}
void print() {
for (int i = 0; i < cnt; i += 2) {
if (V[i] == 0) GO[FRM[i]] = TO[i] - n;
}
memset(DIS, 0, sizeof (DIS));
int i = 1, j;
while (i <= n) {
if (DIS[i]) {
i++;
continue;
}
printf("%d", i);
DIS[i] = 1;
j = i;
while (GO[j]) {
j = GO[j];
DIS[j] = 1;
printf(" %d", j);
}
printf("\n");
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
ss = n * 2 + 1, tt = n * 2 + 2;
memset(HD, -1, sizeof (HD));
for (int i = 1, x, y; i <= m; ++i) {
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y + n, 1);
cnt = sz;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
add(ss, i, 1);
add(i + n, tt, 1);
}
int tmp = dinic();
print();
printf("%d", n - tmp);
return 0;
}
