standard MA

考虑一个问题：

Alexandrov weak solution

$det(D^2u)=1$  in  $\Omega$;

$u=0$    on  $\partial\Omega$.

此处$\Omega$是一个正规凸区域，即除了凸以外还满足$B_{\frac{1}{n}}\subset\Omega\subset B_n$,  那么根据经典的结果， 首先解的存在唯一性是没有问题的，齐次$u$在内部是严格凸的，进而由Cheng-Yau的结果就可知  $u\in C^{\infty}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$. 通过使用ABP极值原理和闸函数技巧，可以推断全局的Hoder的连续性(C^{0,\alpha_0})，而我现在的问题是：

在边界点处$u$的逐点的性质最好是多少？能够到$Lipschitz$或者更好一点点逐点puntually$C^1$？

看起来似乎不太对？可以先考虑最典型的区域，三角形，正方形，凸多边形，等等。 

强烈的直觉告诉我，这个问题应该是做不了的，得不到边界梯度估计的，savin他们现在正在做的都是要加一些一致凸区域或者要有二次增长分离，而这里似乎是一点点条件都没有。可以考虑在凸区域的好点画一个内切球，然后再这里想办法构造一个在该切点处梯度无界的可以比较的上解似乎是可以做到的。特别是对于平坦情形，这里的边界行为比内部差远了。这也是为什么MA需要对边值，边界的光滑性的依赖是如此的强烈的原因。