LeetCode 647. Palindromic Substrings

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LeetCode 647

题目解析

计算字符串的回文子串数。

解题思路

一个小问题，子串（Substring）、子数组（Subarray）和子序列（Subsequence）的区别：子串和子数组是等同的，特点是连续的，比如[1,2,3]的子串有(1), (2), (3), (1,2), (2,3), (1,2,3)。而子序列不一定相邻，但相对顺序一致，比如（1,3）是[1,2,3]的一个子序列。

方法有很多种，简单讲一些。

方法一：DP

一开始定义DP[i][j]为i、j之间的回文子串数，很是麻烦，还需要另外的数组记录子串[i, j]是否是回文的。其实没有必要，直接将DP[i][j]定义成子串[i, j]是否是回文串。外循环 \(i\)从 \(n-1\) 往 \(0\) 遍历，内循环 \(j\) 从 \(i\) 往 \(n-1\) 遍历，若s[i]==s[j]：

• 若i==j，则dp[i][j]=true；
• 若i和j是相邻的，则dp[i][j]=true；
• 若i和j中间只有一个字符，则dp[i][j]=true；
• 否则，检查dp[i+1][j-1]是否为true，若为true，那么dp[i][j]就是true。

前三条可以合并，即 \(j-i ≤ 2\)。求得dp[i][j]真值后，如果其为true，最终结果res++。

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

方法一参考代码：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int len = s.size(), res = 0;
        vector<vector<bool>> dp(len, vector<bool>(len, false));
        for (int i = len - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = i; j < len; ++j) {
                dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && (j - i <= 2 || dp[i + 1][j - 1]);
                if (dp[i][j]) ++res;
            }
        }
        return res;
    }
};

方法二：回文中心法

本题可以不用DP，而是采用一种巧妙的方法：回文中心法。什么意思呢？考虑不同的回文中心，往两边扩散，求得回文数。需要考虑两种情况：如果是奇数长度回文串，了么回文中心为最中间的一个字符；如果是偶数长度回文串，这回文中心为最中间的两个字符。

每个回文子串只有一个回文中心，所以这种方法不会重复计算，也不会漏算。

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

方法二参考代码：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int len = s.size(), res = 0;
        for (int i = 0; i < len; ++i) {
            int mid1 = i, mid2 = i;//奇数
            while (mid1 >= 0 && mid2 < len && s[mid1] == s[mid2]) {
                --mid1; ++mid2; ++res;
            }
            
            mid1 = i, mid2 = i+1;//偶数
            while (mid1 >= 0 && mid2 < len && s[mid1] == s[mid2]) {
                --mid1; ++mid2; ++res;
            }
        }
        return res;
    }
};

方法三：“马拉车”算法

神奇的算法，先马一下，学会再写上。听说时间复杂度是 \(O(n)\)。

好了，学到了，请参考：什么是马拉车算法？

利用马拉车算法，可以得到所有情况下的最大半径，以s[i]为中心，RL[i]为半径的回文串中含有的字回文串数目是 \(RL[i] / 2\) 个。

方法三参考代码：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        //预处理
        string t = "#";
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            t += s[i];
            t += "#";
        }

        vector<int> RL(t.size(), 0);
        int MaxRight = 0, pos = 0;
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < t.size(); ++i) {
            RL[i] = MaxRight > i ? min(RL[2 * pos - i], MaxRight - i) : 1;

            while (i-RL[i] >=0 && i+RL[i] < t.size() && t[i + RL[i]] == t[i - RL[i]])//扩展，注意边界
                ++RL[i];
            //更新最右端及其中心
            if (MaxRight < i + RL[i] -1) {
                MaxRight = i + RL[i] -1;
                pos = i;
            }
            
            res += RL[i]/2;
        }
        return res;
    }
};

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