2016级算法第五次上机-E.AlvinZH的学霸养成记IV

1039 AlvinZH的学霸养成记IV

思路

难题，最大二分图匹配。

难点在于如何转化问题，n对n，一个只能攻击一个，判断是否存在一种攻击方案我方不死团灭对方。可以想到把所有随从看作点，对于可攻击的两个随从间连上边，这样就把问题转化为图了。

需要注意的是属性值的转化：免疫可看做生命值无限，剧毒可看做攻击力无限。（需要一点小小的机智）

图建好了，接下来怎么办呢？假设存在一种方案满足题意，那就是每个我方随从都可以找到敌方随从攻击，由于要团灭，只能存在一对一的情况，不存在多对一或一对多。如何表达这个方案呢？边！没错，就是刚才连起来的边的一个子集。这个子集有一个特点：n对n，n条边，边连着两边，且没有公共顶点。

没错，经过一番分析，最大二分图匹配已经很明显了。求解过程套板子就好了。

分析

二分图匹配算法

1.匈牙利算法：其本质就是，有条件就上，没条件创造条件也要上。DFS与BFS都可，时间复杂度均为 \(O(V⋅E)\) 。实际对于稀疏图BFS更佳。

2.Hopcroft-Karp算法：匈牙利算法的改进版，每次寻找多条增广路径。时间复杂度可以到达 \(O(n^{0.5}*m)\) 。

3.Dinic算法：二分图匹配其实是一个最大流问题，Dinic是一种优化过的求解最大流算法。与朴素的FF算法（\(O(n*m^2)\)）不同，其可以同时多路增广。求解二分图时，构建超级源点和超级汇点，匹配边权值为1，求最大流即可。理论最坏复杂度为 \(O(n^2m)\) ，稠密图时比匈牙利DFS快了不少。

参考博客：二分图;
匈牙利算法;
Hopcroft-Karp算法;
Dinic算法

参考代码（DFS）

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define MaxSize 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int n, ans;
vector<int> G[MaxSize];//记录可攻击的敌方随从
int match[MaxSize];//记录匹配点
int visit[MaxSize];//记录是否访问

struct minion {
    int attack, life;
}A[MaxSize], B[MaxSize];

bool dfs(int x)//寻找增广路径
{
    for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i)
    {
        int to = G[x][i];
        if(!visit[to])
        {
            visit[to] = 1;
            if(!match[to] || dfs(match[to]))
            {
                match[to] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int MaxMatch()
{
    ans = 0;
    memset(match, 0, sizeof(match));
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        memset(visit, 0, sizeof(visit));//清空访问
        if(dfs(i)) ans++;//从节点i尝试扩展
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int a, l, p;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d %d %d", &a, &l, &p);

            switch (p) {
                case 0:
                    A[i].attack = a; A[i].life = l; break;
                case 1:
                    A[i].attack = a; A[i].life = INF; break;
                case 2:
                    A[i].attack = INF; A[i].life = l; break;
                case 3:
                    A[i].attack = INF; A[i].life = INF; break;
                default:
                    break;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%d %d", &B[i].attack, &B[i].life);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            G[i].clear();

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if(A[i].attack >= B[j].life && A[i].life > B[j].attack)
                    G[i].push_back(j);
            }
        }
        if(n == MaxMatch()) printf("YES\n");
        else printf("NO\n");
    }
}