HihoCoder 1153 分数取模

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描述

给定三个正整数 a、 b 和 p，满足 b 和 p 互质。这时分数 a / b 除以 p 的余数，即 a / b MOD p 可以定义为 a × b^-1 MOD p。 

其中b^-1 是 b 的逆元，它满足 1 ≤ b^-1 < p 且 b × b^-1 ≡ 1 MOD p，满足上述条件的 b^-1有且仅有一个。 

例如 2^-1 ≡ 4 MOD 7，因为2 × 4 ≡ 1 MOD 7； 3^-1 ≡ 3 MOD 8，因为3 × 3 ≡ 1 MOD 8。 

于是我们可以利用b^-1求出a / b MOD p，例如： 3 / 2 MOD 7 = 3 × 2^-1 MOD 7 = 3 × 4 MOD 7 = 5

给定三个正整数 a、 b 和 p，满足 b 和 p 互质，求 a / b MOD p。 

输入

第一行包含3个正整数，a、b 和 p 满足 b 和 p 互质。 

对于30%的数据，1 ≤ a, b < p ≤ 100

对于80%的数据，1 ≤ a, b < p ≤ 100000 

对于100%的数据，1 ≤ a, b < p ≤ 1000001333

输出

输出 a / b MOD p的值。

样例输入

3 2 7

样例输出

5
其实不过是一个求逆元的题目，但是学到了不少东西，认识到许多学习的东西都是在表面，学的不够扎实。

如果 求逆元的方法可以使用费马小定理，p是质数，那么a关于p的逆元就是a ^p-2 MOD p（只知道但不知道为什么）,可以使用快速幂取模快速求得。

当然，是数据太弱了吧，测试的p居然全部都属素数。

虽然AC但是错误的代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;

LL quick_exp(LL a, LL n, int mod)
{
    LL ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return (ans + mod) % mod;
}

int main()
{
    LL a,b;
    int p;
    scanf("%lld%lld%d", &a, &b, &p);
    int bn = quick_exp(b, p - 2, p);
    printf("%lld\n", (a * bn) % p);
    return 0;
}

但是，如果p与a是互质的，但是p不是怎么办呢？如果还是利用费马小定理是不够的了。

有个欧拉定理如果p与a互质，那么a ^φ(p)-1 MOD p = 1. φ(p) 是指比p小的但是与p互质的整数个数。

可以看出来费马小定理是个特例，如果p是素数，那么φ(p)=p-1，自然解决问题。

如果 p = p₀^k ( p₀ 是素数) ,那么明显就有φ(p) = p₀^k-p₀^k-1 ，提取公因式就有φ(p) = (p₀-1)*p₀^k-1

如果p = p1*p2 ( p1, p2 是素数)，那么明显也有φ(p) =φ(p1) *φ(p2)

又因为任意的整数都可以分解成若干素数的乘积（例如 15 = 3 * 5， 120 = 2³ * 3 *5）,(唯一分解定理)

综上，所以有欧拉函数的计算公式φ(p) = p / p1 * (p1 - 1) / p2 * (p2 - 1) ……

故正确的AC代码应该是

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;

LL euler_phi(LL x)
{
    LL ans = x;
    int m =sqrt(x);
    for(int i = 2; i <= m; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            while(x % i == 0)
                x /= i;
            ans = ans / i * (i - 1);
        }
    }
    if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1);
    return ans;
}

LL quick_exp(LL a, LL n, int mod)
{
    LL ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return (ans + mod) % mod;
}

int main()
{
    LL a,b;
    int p;
    scanf("%lld%lld%d", &a, &b, &p);
    int bn = quick_exp(b, euler_phi(p) - 1, p);
    printf("%lld\n", (a * bn) % p);
    return 0;
}

当然，我们也可以直接使用扩展欧几里得算法直接计算逆元，而且没有那么多弯弯绕。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;

void extra_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d)
{
    if(b == 0)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        extra_gcd(b, a%b, y, x, d);
        y -= (a/b) * x;
    }
}

int main()
{
    LL a, b, p, x, y, d;
    scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
    extra_gcd(b, p, x, y, d);
    x = (x + p) % p;
    printf("%lld\n", (a * x) % p);
    return 0;
}