[日常训练]yayamao的神题

Description

\(yayamao\)是数学神犇，一天他在纸上计算起了\(1/P\), 我们知道按照模拟除法可以得到准确解，例如\(1/7=0.(142857),1/10=0.1(0)\)。\(yayamao\)发现无论他如何模拟小数都会出现循环，现在\(yayamao\)想知道循环的长度以及循环出现之前，小数点后面的未循环的数字的位数。例如\(1/15=0.0(6)\),那么它的循环长度为\(1\)，小数点后面的未循环的数字的位数为\(1\);\(1/4=0.25(0)\)，那么它的循环长度为\(1\)，小数点后面的未循环的数字的位数为\(2\)。

Input

数据的第一行是一个整数\(T\), 表示数据组数。

接下来\(T\)组数据，每组数据的第一行是一个正整数\(P\)。

Output

对于每组数据输出\(2\)个整数\(A,B\), 分别表示循环长度以及小数点后面的未循环的数字的位数。

Sample Input

3
1
2
4

Sample Output

1 0
1 1
1 2

HINT

\(1\;\leq\;T\;\leq\;10000,1\;\leq\;P\;\leq\;2\;\times\;10^9\).

Solution

小学奥数中,一个分数如果是纯循环小数,则它的分母是\(k=999...9\)的因数(\(k\)为最小的这种形式的原分母的倍数),循环节为\(k\)的位数;

若是混循环小数,则它的分母是\(k=999...9000...0\)的因数(\(k\)为最小的这种形式的原分母的倍数),循环节为\(k\)中\(9\)的个数,小数点后不循环部分的位数为\(k\)中\(0\)的个数.

由此可见,设\(P=2^{a_1}5^{a_2}P'((P',10)=1)\),则循环部分的位数为\(max(a_1,a_2)\).

现在求循环节长度.

设\(a_i\)表示\(P'\)小数点后\(i\)位上的数,\(b_i\)表示处理第\(i-1\)位后的余数.

显然,\(b_1=1,a_1=\lfloor10\;\times\;\frac{1}{P'}\rfloor\),

\(b_i=10\;\times\;b_{i-1}\;mod\;P',a_i=\lfloor10\;\times\;\frac{b_i}{P'}\rfloor\).

当找到最小的\(p,q(p<q)\)满足\(b_p=b_q\)时,答案为\(q-p\).

因为\((P',10)=1\),所以\((P',b_i)=1\).

设\(10x\;\equiv\;1(mod\;P')\),若\(p\not=1\),则\(b_{p-1}=x\;\times\;b_p\;mod\;P'=x\;\times\;b_q\;mod\;P'=b_{q-1}\).

出现了更早的重复\(b_{p-1}=b_{q-1}\),所以最早的重复在\(p=1\),所以\(\frac{1}{P'}\)为纯循环小数.

设\(y\)为最小的满足\(b_y=b_1\;\times\;10^{y-1}\;mod\;P'=b_1\)的正整数,则\(10^{y-1}\;\equiv\;1(mod\;P')\).

问题转化成了求\(10\)模\(P'\)的阶.

因为\((10,P')=1\),所以\(10^{\phi(P')}\;\equiv\;1(mod\;P')\).

枚举\(\phi(P')\)的质因数找最小质因数解即可.

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#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 45000
using namespace std;
typedef long long ll;
ll m[N];
int f[N],p[N],k,n,x,t,cnt,tot;
bool b[N];
inline void prime(){
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i){
        if(!b[i]){
            p[++n]=i;f[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=n&&i*p[j]<N;++j){
            b[i*p[j]]=true;
            if(!(i%p[j])){
                f[i*p[j]]=p[j]*f[i];
                break;
            }
            f[i*p[j]]=(p[j]-1)*f[i];
        }
    }
}
inline int phi(int k){
    if(k<N) return f[k];
    for(int i=1,j;i<=n;++i)
        if(!(k%p[i])){
            j=k/p[i];
            if(!(j%p[i]))
                return p[i]*phi(j);
            return (p[i]-1)*phi(j);
        }
    return k-1;
}
inline ll mul(int x){
    if(x<N) return m[x];
    return mul(x>>1)*mul(x+1>>1)%(ll)(k);
}
inline void Aireen(){
    scanf("%d",&t);
    prime();m[0]=1ll;
    while(t--){
        scanf("%d",&k);
        cnt=tot=0;
        while(!(k%2)){
            k>>=1;++cnt;
        }
        while(!(k%5)){
            k/=5;++tot;
        }
        x=phi(k);
        for(int i=1;i<N;++i)
            m[i]=m[i-1]*10ll%(ll)(k);
        for(int i=sqrt(x);i;--i)
            if(!(x%i)){
                if(mul(i)==1ll) x=min(x,i);
                if(mul(x/i)==1ll) x=min(x,x/i);
            }
        printf("%d %d\n",x,max(cnt,tot));
    }
}
int main(){
    freopen("pro.in","r",stdin);
    freopen("pro.out","w",stdout);
    Aireen();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}