USACO / Stringsobits (DP构造/康托展开)
Stringsobits
考虑排好序的N(N<=31)位二进制数。
你会发现,这很有趣。因为他们是排列好的,而且包含所有可能的长度为N且含有1的个数小于等于L(L<=N)的数。
你的任务是输出第I(1<=I<=长度为N的二进制数的个数)大的,长度为N,且含有1的个数小于等于L的那个二进制数。
格式
PROGRAM NAME: kimbits
INPUT FORMAT:
(file kimbits.in)
共一行,用空格分开的三个整数N,L,I。
OUTPUT FORMAT:
(file kimbits.out)
共一行,输出满足条件的第I大的二进制数。
SAMPLE INPUT
5 3 19
SAMPLE OUTPUT
10011
分析:
这道题算比较经典的DP+构造了吧~~~
一开始想着暴力判断 O(logN*N),枚举N*判断每一个数1的个数logN。这种显然超时的算法下次就不要想了= =!。。。(每次想好前先给我算一下复杂度!)
然后就考虑DP吧~~~
先用动态规划计算:长度为I的01串,1的个数不大于j的有多少个
其状态表示为f[i,j]
方程:f[i,j]=f[i-1,j]+f[i-1,j-1]; //分别表示在当前位加上0和加上1时的两种状况
边界:f[i,0]=1,f[0,i]=1;
然后就是用字符串构造了(注:这里的K就是原题中的I)
第一次,寻找1的最高位位置,从次高位开始扫描(i:=n-1 downto 1),看从当前位到最后,1的个数是否超过L,比较f[i,l]与K的大小。如果f[i,l]>=K这一位不为1(因为满足条
件的前K个都是由后面i-1位01串构成的),向S加入一个‘0’补足高位;否则,找到了第一个f[i,l]<k(也就是说,仅由当前i位已经无法构成足至少k个满足条件的01串),这是
第i+1位必须添上一个‘1’,然后dec(k,f[i,l]),dec(l)
然后按照相同的方法继续构造接下来的‘1’,不足的全部由‘0’补足
PS:这个算法标准化应该就是康托展开 吧~~~O.O。。。
代码:
1 /* 2 ID:138_3531 3 LANG:C++ 4 TASK:kimbits 5 */ 6 7 8 #include <fstream> 9 #include <iostream> 10 #include <cstdio> 11 #include <cstdlib> 12 #include <cmath> 13 #include <iomanip> 14 #include <climits> 15 #include <vector> 16 #include <set> 17 #include <bitset> 18 #include <map> 19 #include <algorithm> 20 #include <string> 21 #include <cstring> 22 23 24 using namespace std; 25 26 27 int MAX(int a,int b) 28 { 29 return a>b?a:b; 30 } 31 32 33 int MIN(int a,int b) 34 { 35 return a>b?b:a; 36 } 37 38 39 ifstream fin("kimbits.in"); 40 ofstream fout("kimbits.out"); 41 42 43 int a[33]; 44 long long f[33][33]; 45 46 47 int main() 48 { 49 long long n,l,I; 50 fin>>n>>l>>I; 51 52 53 memset(f,0,sizeof(f)); 54 for (int i=0;i<=n;i++) //initialize array f 55 { 56 f[0][i]=1; 57 f[i][0]=1; 58 } 59 60 61 for (int i=1;i<=n;i++) //preprocess array f 62 for (int j=1;j<=l;j++) 63 { 64 f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]; 65 //cout<<i<<' '<<j<<' '<<f[i][j]<<endl; 66 } 67 68 69 int k=l; 70 memset(a,0,sizeof(a)); 71 72 73 for (int i=n-1;i>=0;i--) 74 { 75 if (f[i][k]>=I) 76 a[i+1]=0; 77 else 78 { 79 a[i+1]=1; 80 I-=f[i][k]; 81 k--; 82 } 83 84 85 } 86 87 88 for (int i=n;i>=1;i--) 89 fout<<a[i]; 90 fout<<endl; 91 92 93 return 0; 94 }
举杯独醉,饮罢飞雪,茫然又一年岁。 ------AbandonZHANG