Luogu2791 幼儿园篮球题【斯特林数,数学】
题目链接:洛谷
我一开始不知道$N,M$有什么用处,懵逼了一会儿,结果才发现是输入数据范围。。。
$$\begin{aligned}\binom{n}{k}Ans&=\sum_{i=0}^k\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}i^L \\&=\sum_{i=0}^k\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\sum_{j=0}^Lj!\binom{i}{j}\begin{Bmatrix}L \\ j\end{Bmatrix} \\&=\sum_{j=0}^Lj!\begin{Bmatrix}L \\ j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^k\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\binom{i}{j} \\&=\sum_{j=0}^Lj!\begin{Bmatrix}L \\ j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^k\binom{m}{j}\binom{m-j}{i-j}\binom{n-m}{k-i} \\&=\sum_{j=0}^L\frac{m!}{(m-j)!}\begin{Bmatrix}L \\j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^k\binom{m-j}{i-j}\binom{n-m}{k-i} \\&=\sum_{j=0}^L\frac{m!(n-j)!}{(k-j)!(n-k)!(m-j)!}\begin{Bmatrix}L \\j\end{Bmatrix}\end{aligned}$$
所以答案
$$Ans=\frac{m!k!}{n!}\sum_{i=0}^{\min(L,m,k)}\frac{(n-i)!}{(m-i)!(k-i)!}\begin{Bmatrix}L \\ i\end{Bmatrix}$$
上面第五行到第六行使用了范德蒙德卷积
$$\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}$$
组合意义:在$n+m$个元素中取$k$个,前$n$个元素中选了$i$个。
而且要注意$i$的范围,不然就会挂成15分
时间复杂度$O(L(\log L+S))$。