CF954F Runner's Problem

离散化+矩阵快速幂

首先看数据范围可以确定该题的算法为矩阵快速幂

然后易得转移矩阵

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

然后把障碍离散下来重构，获取每段区间内障碍的情况（共\(2^3=8\)种）

重构的时候用辅助变量\(pre\)表示上一段区间对应的情况，易得重构部分的算法

若某一列有障碍，则将转移矩阵中的这一列全置0即可

为了减小代码复杂度，我们将每种情况与预处理后的转移矩阵一一对应，即可快速选择需要的转移矩阵

代码中用对应\(.kd\)二进制位为1表示该列有障碍

初始矩阵显然是

\[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

分段求矩阵快速幂即可

时间复杂度\(\Theta(n \log n + siz^3n \log m)\)

#include"cstdio"
#include"cstring"
#include"iostream"
#include"algorithm"
using namespace std;

const int siz=8;
const int MAXN=1e4+5;
const int MOD=1e9+7;

int n,pre,np;
long long m;
int cnt[siz];
struct Matrix{
	int v[siz][siz];
	int x,y;

	void clear(){memset(v,0,sizeof(v));x=y=0;}
	void Mmul(Matrix a,Matrix b)
	{
		clear();x=a.x,y=b.y;int c=a.y;
		for(int i=1;i<=x;++i){
			for(int j=1;j<=y;++j){
				for(int k=1;k<=c;++k){
					v[i][j]+=(long long)a.v[i][k]*b.v[k][j]%MOD;
					v[i][j]%=MOD;
				}
			}
		}return;
	}

	Matrix Mpw(Matrix a,long long b)
	{
		Matrix x;x.clear();x.x=x.y=a.x;
		for(int i=1;i<=x.x;++i) x.v[i][i]=1;
		while(b){
			if(b&1) x.Mmul(x,a);
			b>>=1;a.Mmul(a,a);
		}return x;
	}

	void write()
	{
		for(int i=1;i<=x;++i){
			for(int j=1;j<=y;++j){
				printf("%d ",v[i][j]);
			}puts("");
		}puts("");
		return;
	}
}A[siz],B;
struct rpg{
	long long x;
	int h;
	bool kd;
}a[MAXN<<1];
struct lint{
	long long siz;
	int kd;
}line[MAXN<<1];

bool cmp(rpg a,rpg b){return a.x<b.x;}
void build()
{
	for(int i=0;i<siz;++i) A[i].x=A[i].y=3;
	for(int i=0;i<siz;++i){
		for(int j=1;j<=2;++j){
			for(int k=1;k<=2;++k){
				A[i].v[j][k]=A[i].v[4-j][4-k]=1;
			}
		}for(int j=0;j<3;++j){
			if(i&(1<<j)){
				for(int k=1;k<=3;++k){
					A[i].v[k][j+1]=0;
				}
			}
		}
	}B.x=3,B.y=B.v[2][1]=1;
	return;
}

void init()
{
	build();
	scanf("%d%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%lld%lld",&a[i].h,&a[i].x,&a[i+n].x),a[i+n].kd=1,a[i+n].h=a[i].h,++a[i+n].x;
	sort(a+1,a+(n<<1)+1,cmp);np=line[1].siz=1;
	for(int i=1;i<=n<<1;++i){
		if(a[i].kd) --cnt[a[i].h];
		else ++cnt[a[i].h];
		if(a[i+1].x!=a[i].x){
			int nw=0;
			for(int j=1;j<=3;++j) if(cnt[j]) nw|=1<<j-1;
			if(nw!=pre){
				line[np].siz=a[i].x-line[np].siz;
				pre=nw;
				line[++np]=(lint){a[i].x,pre};
			}
		}
	}line[np].siz=m-line[np].siz;
	return;
}

void solve()
{
	for(int i=1;i<=np;++i) B.Mmul(A[line[i].kd].Mpw(A[line[i].kd],line[i].siz),B);
	printf("%d\n",B.v[2][1]);
	return;
}

int main()
{
	init();
	solve();
	return 0;
}