匹配、覆盖、独立集、二分图与网络流
概念:
设图
- 匹配:在
G 中两两没有公共端点的边集合M⊆E - 边覆盖:
G 中任意顶点都至少是F 中某条边的端点的边集合F⊆E - 独立集:在
G 中两两互不相连的顶点集合S⊆V - 顶点覆盖:
G 中的任意边都有至少一个端点属于S 的顶点集合S⊆V
定理:
- 对于不存在独立点的图,
|最大匹配数|+|最小边覆盖|=|V| |最大独立集|+|最小顶点覆盖|=|V| - 对于二分图,
|最大匹配|=|最小顶点覆盖|
不严谨的理解:
一:
可以想象,最小边覆盖可以通过最大匹配加边来完成,但是要加多少条边呢?
假设图
由此可知,图G的最小边覆盖为:
移项可得:
关于为什么不能有孤立的点呢,因为这些孤立点一条边都没有,最后
二:
可以这样理解,现在图G要删除一些点,构造最小顶点覆盖,要删除哪些点呢?
一个思路是删除一组两两独立的点,因为这样删除点,不会导致一条边的两个端点都被删去。如果一条边的两个端点都被删去了,那么删去的点也就不是互相独立的了。这样要构造最小的顶点覆盖,就要尽量多的删去两两独立的点,那么就是