bzoj 5533
$dp$+博弈论
把棋子间的空当当做石子,问题变成一个阶梯$nim$,求多少个必胜局面。
由于是$nim$游戏,可以按位考虑,阶梯$nim$胜利的条件是奇数堆石子异或和不为$0$,考虑按位$dp$
$dp_{i.j}$表示当前考虑到第$i$位,还剩下$j$个空位置可以用,且前i位异或和位$0$的方案数,最后拿所有方案减去不合法即可。
转移就是枚举选多少个第$i$位,组合数转移。
最后统计答案时考虑剩下的空位,假设剩下$a$个空位,那么可以把这些空位放入$\frac{m}{2}$个偶数堆石子,也就是偶数间隔的位置。
复杂度$O(nmlogn)$
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 150105, P = 1e9 + 9; int n, m; int fac[maxn], inv[maxn], facinv[maxn], dp[20][maxn]; int c(int n, int m) { // printf("c(%d, %d) = %lld\n", n, m, fac[n] * facinv[m] % P * facinv[n - m] % P); return 1LL * fac[n] * facinv[m] % P * facinv[n - m] % P; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); fac[0] = 1; inv[0] = inv[1] = facinv[0] = 1; for(int i = 1; i <= n + m; ++i) { fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % P; if(i != 1) inv[i] = 1LL * inv[P % i] * (P - P / i) % P; facinv[i] = 1LL * facinv[i - 1] * inv[i] % P; } int C = 1; while(1 << C <= n - m) ++C; dp[C + 1][n - m] = 1; for(int i = C; ~i; --i) for(int j = 0; j <= n - m; ++j) if(dp[i + 1][j]) for(int k = 0; k <= (m + 1) >> 1 && j - (k << i) >= 0; k += 2) dp[i][j - (k << i)] = (dp[i][j - (k << i)] + 1LL * dp[i + 1][j] * c((m + 1) >> 1, k) % P) % P; int ans = 0; for(int i = 0; i <= n - m; ++i) ans = (ans + 1LL * dp[0][i] * c(i + (m >> 1), (m >> 1)) % P) % P; printf("%d\n", (c(n, m) - ans + P) % P); return 0; }