Dirichlet分布

1.预备知识

    Beta分布函数是一种定义在实数区间[0,1]的特殊函数，它是二项式分布的共轭分布；与Beta分布相同，Dirichlet分布也是定义在实数区间[0,1]的概率度量函数，Dirichlet分布是多项式分布的共轭分布，Dirichlet分布的值域是Beta分布拓展到高维的情形。

    对二项式分布、Beta分布、多项式分布不清楚的，可以参考以下文章：

    https://www.cnblogs.com/171207xiaohutu/p/9335258.html

    https://www.cnblogs.com/171207xiaohutu/p/9341681.html

2.Dirichlet分布

    Dirichlet分布可以看做是分布之上的分布。如何理解这句话，我们可以先举个例子：假设我们有一个骰子，其有六面，分别为{1,2,3,4,5,6}。现在我们做了10000次投掷的实验，得到的实验结果是六面分别出现了{2000,2000,2000,2000,1000,1000}次，如果用每一面出现的次数与试验总数的比值估计这个面出现的概率，则我们得到六面出现的概率，分别为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}。现在，我们还不满足，我们想要做10000次试验，每次试验中我们都投掷骰子10000次。我们想知道，骰子六面出现概率为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}的概率是多少（说不定下次试验统计得到的概率为{0.1, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}这样了）。这样我们就在思考骰子六面出现概率分布这样的分布之上的分布。而这样一个分布就是Dirichlet分布。

    下面正式进入狄利克雷分布介绍，首先说一下这个多项分布的参数μ。在伯努利分布里，参数P就是抛硬币取某一面的概率，因为伯努利分布的状态空间只有{0,1}。但是在多项分布里，因为状态空间有K个取值，因此P变成了向量。

 

     多项分布的likelihood函数形式是，因此就像选择伯努利分布的共轭先验贝塔函数时那样，狄利克雷分布的函数形式应该如下：

    （这里的μ相当于上面的p）。上式中：是迪利特雷参数，把上式归一化为真正的迪利特雷分布为： 

                                                                                        

    其中

 

参考：https://blog.csdn.net/deropty/article/details/50266309

         https://blog.csdn.net/yongheng5871/article/details/51405817