中国剩余定理

2016.1.26

 

由于比较懒，于是先copy百度一发

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用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

(S):     x≡a₁  (mod m₁)

           x≡a₂  (mod m₂)

                   .

                   .

                   .

           x≡a_n  (mod m_n)

 有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a₁,a₂, ... ,a_n，方程组(S)有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设M=m₁ * m₂ * … * m_n 是整数m₁,m₂, ... ,m_n的乘积，

并设M_i = M/m_i

是除了m_i以外的n- 1个整数的乘积。

设t_i = M_i^-1为M_i模m_i的数论倒数t_i M_i≡ 1(mod m_i)

方程组(S)的通解形式为

X = a₁t₁M₁ + a₂t₂M₂ + … + a_nt_nM_n + kM     (k∈Z)

在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：X = a₁t₁M₁ + a₂t₂M₂ + … + a_nt_nM_n

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设来设去一大堆容易把人搞晕了，但是如果先看最后的式子就好理解了。

X = a₁t₁M₁ + a₂t₂M₂ + … + a_nt_nM_n + kM     (k∈Z)

显然除了a_it_iM_i这一项外，其余项模m_i都得0，又因为t_i是M_i的逆元，所以t_iM_i≡1(mod m_i)，所以x ≡ a_it_iM_i ≡ a_i (mod m_i)

于是解就都符合我们求的一元同余线性方程组啦~

 

例题：解一元同余方程组