扩展欧几里得算法

2016.1.25

（未更新完）

一、欧几里得算法（辗转相除法）

1、用途：快速计算两个数的最大公约数。

2、精髓：gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

3、证明：设r=a mod b,则我们要证明的是gcd(a,b)=gcd(b,r)

             设gcd(a,b)=c，则a=mc，b=nc,且m，n互质。那么r=a-kb=(m-kn)c,所以c也是r的因数。

             若gcd(b,r)>c,则设为d，则有b=m1*d,r=n1*d,所以a=(m1+n1)*d,则d为a的因数，所以gcd(a,b)=d,与题设不符。

             所以gcd(a,b)=gcd(b,r)

4、时间复杂度：显然经过两次递归后第一个参数至少减小一半

                      所以时间复杂度粗略为O(log max(a,b))

5、经典例题：线段上格点的个数

 

二、扩展欧几里得算法：

1、用途：快速求整数x，y使得ax+by=gcd（a，b）

2、精髓代码：

void extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x; 
    }
}

 

     3、证明：由于gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

                  所以b*x1 + (a%b)*y1 = gcd(a,b)

                  a%b = a - (a/b)*b

                  所以gcd(a,b) = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

                                    = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

                                    = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

                  对于我们所求的x，y使得ax+by=gcd(a,b)

                  则有  x = y1

                  y = x1 – a/b*y1

                  证毕

                  至于终止条件，因为当欧几里得算法终止时a=gcd，b=0，则当x=1，y=0时，必使目标公式成立。

                  另外关于ax+by=c的充要条件为什么是c=gcd(a,b),可以自行百度一下裴蜀定理。

     4、时间复杂度：与欧几里得算法一致

     5、经典例题：双六