后缀数组--总结

1、基本定义。

子串：字符串S的子串r[i...j]。

后缀：以i开始的后缀表示为Suffix(i)。

大小比较：按字典序。

后缀数组：SA是一个一维数组。将S的后缀从小到大排序后，后缀的开头位置顺次放入SA。(SA[i]=j：排在第i个的是Suffix(j))

名词数组：Rank[i]是Suffix(i)在后缀中从小到大排列的名次。(Rank[i]=j：Suffix(i)排在第j个)

后缀数组和名次数组为互逆运算：设Rank[i]=j，则SA[j]=i。

2、倍增算法。

目的：设字符串长度为n，在O(nlog₂n)求出SA数组和Rank数组。

 1 int wa[MAXN],wb[MAXN],wv[MAXN],ws[MAXN];
 2 inline bool cmp(int *r,int a,int b,int len)
 3 {
 4     return r[a]==r[b]&&r[a+len]==r[b+len];
 5 }
 6 void SA(char *r,int *sa,int n,int m)
 7 {
 8     //r为字符串数组，sa为后缀数组，n=strlen(s)+1，m为max(r[i])+1。
 9     int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t;
10 
11     //对长度为1的字符串基数排序。
12     for(i=0;i<m;i++)
13         ws[i]=0;//清零。
14     for(i=0;i<n;i++)
15         ws[x[i]=r[i]]++;//统计各相同字符的个数。
16     for(i=1;i<m;i++)
17         ws[i]+=ws[i-1];//统计小于等于i的字符共有多少个。
18     for(i=n-1;i>=0;i--)
19         sa[--ws[x[i]]]=i;//小于等于r[i]共有ws[x[i]]个，因此r[i]排在第ws[x[i]]个。
20 
21     for(j=p=1;p<n;j<<=1,m=p)//p是第二关键字为0的个数，j是当前比较的字符串长度。
22     {
23         //对第二关键字基数排序。
24         //y[s]=t表示排在第s个的起点在t，即y[s]对第二关键字排序，但y[s]的值指向第一关键字的位置。
25         for(p=0,i=n-j;i<n;i++)
26             y[p++]=i;//在n-j之后的第二关键字都为0，排在前面，即第p个。
27         for(i=0;i<n;i++)
28         {
29             if(sa[i]>=j)//如果排在第i个的字符串起点在sa[i]，满足sa[i]>=当前字符串长度j。
30                 y[p++]=sa[i]-j;//对于sa[i]-j为起点的第二关键字排在前面。
31         }
32 
33         //对第一关键字基数排序。
34         for(i=0;i<m;i++)
35             ws[i]=0;//清零。
36         for(i=0;i<n;i++)
37             ws[wv[i]=x[y[i]]]++;//第二关键字排在第i个的起点在y[i]，x[y[i]]就是y[i]指向的字符，ws进行个数统计。
38         for(i=1;i<m;i++)
39             ws[i]+=ws[i-1];//统计字符小于等于i的个数。
40         for(i=n-1;i>=0;i--)//wv[i]是排在第i个第二关键字对应的第一关键字。
41             sa[--ws[wv[i]]]=y[i];//y[i]就是第一关键字的位置。
42         for(t=x,x=y,y=t,x[sa[0]]=0,p=i=1;i<n;i++)//交换x，y的地址，x保存当前rank值，y为前一次rank值。
43             x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
44         //若rank[sa[i-1]]=rank[sa[i]]，则必然sa[i-1]+j没有越界，因为不可能有相等的后缀。
45     }
46 }

3、后缀数组的应用。

height数组：height[i]=Suffix(sa[i-1])和Suffix(sa[i])的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。

h数组：h[i]=height[rank[i]]=Suffix(i)和在它前一名的后缀的最长公共前缀。

h数组的性质：h[i]>=h[i-1]-1。

证明：设Suffix(k)是排在Suffix(i-1)前一名的后缀，则它们的最长公共前缀就是h[i-1]。那么Suffix(k+1)将排在Suffix(i)的前面。

a、若Suffix(k)与Suffix(i-1)的最长公共前缀<=1，即h[i-1]<=1，h[i]>=0显然成立。

b、若Suffix(k)与Suffix(i-1)的最长公共前缀>=2，Suffix(k)与Suffix(i-1)同时去掉首字符得到Suffix(k+1)与Suffix(i)，则Suffix(k+1)排在Suffix(i)的前面，且Suffix(k+1)与Suffix(i)的最长公共前缀=h[i-1]-1。设Suffix(t)是排在Suffix(i)前一名的后缀，则它们的最长公共前缀就是h[i]，那么Suffix(t)=Suffix(k+1)或者Suffix(t)排在Suffix(k+1)前面，则h[i]>=h[i-1]-1。

 1 int rank[MAXN],height[MAXN];
 2 void Height(int *r,int *sa,int n)
 3 {
 4     int i,j,k;
 5     for(i=1;i<=n;i++) 
 6         rank[sa[i]]=i;
 7     for(i=k=0;i<n;height[rank[i++]]=k)
 8         for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++);
 9     //若k>0，从k-1开始找最长公共前缀。
10     return;
11 }