陪集分解的几个简单应用

定理    设$G$为有限群,$A,B\leq G$,则:

(1)$|AB|=\frac{|A|\cdot|B|}{|A\cap B|}$;

(2)若$A\leq B\leq G$,则$[G:A]=[G:B]\cdot[B:A]$;

(3)$[G:A\cap B]\leq[G:A]\cdot[G:B]$.进而若$[G:A],[G:B]$互素,则$[G:A\cap B]=[G:A]\cdot[G:B]$且$AB=G$.

证明    (1)先来考虑$AB$,他是一些陪集$Ab,b\in B$之并,首先由于$$Ab_1=Ab_2\Leftrightarrow b_1b_2^{-1}\in A\cap B$$若存在$a_1,a_2\in A$使得$a_1b_1=a_2b_2$,则$a_2^{-1}a_1=b_2b_1^{-1}\in A\cap B\Rightarrow Ab_1=Ab_2$.这说明上述陪集之并是无交并,且陪集个数为$\frac{|AB|}{|A|}$.注意到$A\cap B\leq B$,从而$B$也可以分解成$A\cap B$的陪集的无交并,且$\left(A\cap B\right)b_1=\left(A\cap B\right)b_2\Leftrightarrow b_1b_2^{-1}\in A\cap B$,这说明两个分解下陪集个数是一样的,根据Lagrange定理得$$\frac{|AB|}{|A|}=[B:A\cap B]=\frac{|B|}{|A\cap B|}\Rightarrow|AB|=\frac{|A|\cdot|B|}{|A\cap B|}$$(2)设$G=\bigcup_{i=1}^{m}Bg_{i}=\bigcup_{i=1}^{m}\bigcup_{j=1}^{n}Ab_{j}g_i$,而$Ab_jg_i=Ab_sg_t\Leftrightarrow b_jg_ig_t^{-1}b_{s}^{-1}\in A$,且若存在$a,a'\in A$使得$ab_jg_i=a'b_sg_t$,则$$b_jg_ig_t^{-1}b_s^{-1}=a^{-1}a'\in A\Rightarrow Ab_jg_i=Ab_sg_t$$这说明上述分解是无交并,因此$[G:A]=mn=[G:B]\cdot[B:A]$.

(3)由(2)仅需说明$[A:A\cap B]\leq[G:B]$,注意到$$(A\cap B)A\neq(A\cap B)a'\Leftrightarrow a'a^{-1}\notin A\cap B\Leftrightarrow a'a^{-1}\notin B\Leftrightarrow Ba'\neq Ba$$这说明$A\cap B$在$A$中的不同陪集,对应$B$在$G$的陪集也是不同的,因此$[A:A\cap B]\leq[G:B]$.

另一方面$[G:A\cap B]=[G:A]\cdot[A:A\cap B]$,因此$[G:A]\big|[G:A\cap B]$,同理$[G:B]\big|[G:A\cap B]$,而$[G:A],[G:B]$互素,因此$$\left([G:A]\cdot[G:B]\right)\big|[G:A\cap B]$$从而$[G:A]\cdot[G:B]=[G:A\cap B]$.